25 bài toán Hình học lớp 9 giải bằng cách vẽ thêm yếu tố phụ

Có những bài toán Hình học lớp 9 cần phải vẽ thêm hình mới có thể giải được. Và dưới đây là một số bài toán như vậy.

Các bài toán đưa ra những gợi ý, hướng giải hữu ích. Từ đó giúp học sinh có thêm nhiều ý tưởng khi bắt tay vào giải các bài toán hình hay và khó.

Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông

Bài toán 1:

Cho hình chữ nhật ABCD, M là một điểm bất kì thuộc miền trong hình chữ nhật.

Chứng minh rằng: MA² + MC² = MB² + MD².

*GỢI Ý:

Từ đẳng thức cần chứng minh ta liên hệ đến định lí Py-ta-go.

Vì lí do đó vẽ đường phụ qua M vuông góc với AB tại E và ME cắt DC tại F. Ta có: MF ⊥ DC.

Các tam giác EAM, FMC, EBM, FMD và hai hình chữ nhật AEFD, EBCF sẽ giúp ta tìm ra lời giải bài toán!

LƯU Ý:

Bạn đọc hãy xét trường hợp M nằm ngoài hình chữ nhật.

Bài toán 2:

Cho tứ giác ABCD có $\displaystyle \widehat{C}$

+ $\displaystyle \widehat{D}$

= 90⁰.

Chứng minh rằng: AB² + CD² = AC² + BD².

*GỢI Ý:

Vì $\displaystyle \widehat{C}$

+ $\displaystyle \widehat{D}$

= 90⁰ < 180⁰ nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau, gọi E là giao điểm của AD và BC.

Từ đây ta có $\displaystyle \widehat{{CED}}$

= 90⁰. Các tam giác EAB, ECD, EAC, EBD đều vuông tại E, áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác này sẽ cho ta kết quả cần chứng minh.

Điểm E là điểm cần vẽ thêm.

Bài toán 3:

Cho hình thang ABCD (AB // CD) có đường cao AH = 4 cm, đường chéo BD = 5 cm, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Tính diện tích hình thang ABCD.

*GỢI Ý:

Chỉ cần tính được độ dài AC thì tính được diện tích ABCD vì tứ giác ABCD có AC ⊥ BD.

Ta nhận ra rằng đường phụ BE // AC, E ∈ DC giúp ta tính được AC.

Bài toán 4:

Cho tam giác ABC cân tại A có góc A nhọn, đường cao BH.

Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{{AH}}{{HC}}=2{{\left( {\frac{{AB}}{{BC}}} \right)}^{2}}-1$ .

*GỢI Ý:

Chọn điểm phụ D là điểm đối xứng của C qua A, ta có tam giác BDC vuông tại B.

DBDC có $\displaystyle \widehat{B}$ = 90⁰, BH là đường cao. Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta sẽ tìm ra lời giải bài toán.

Bài toán 5:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Lấy điểm D thuộc cạnh AC, điểm E thuộc tia đối của tia HA sao cho $\displaystyle \frac{{AD}}{{AC}}=\frac{{HE}}{{HA}}=\frac{1}{3}$ .

Chứng minh rằng: $\displaystyle \widehat{{BED}}$ = 90⁰.

*GỢI Ý:

Từ giả thiết $\displaystyle \frac{{AD}}{{AC}}=\frac{{HE}}{{HA}}=\frac{1}{3}$ ta nghĩ đến vẽ DF ⊥ AH, F ∈ AH. Từ đó AF = HE, HA = FE và áp dụng định lí Py-ta-go ta chứng minh được BE² + ED² = BD².

Bài toán 6:

Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến.

Chứng minh rằng: $\displaystyle A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}=2A{{M}^{2}}+\frac{{B{{C}^{2}}}}{2}$

*GỢI Ý:

Không làm mất tính tổng quát, ta giả sử: AB < AC.

Ta vẽ đường cao AH để có các tam giác vuông HAB, HAC, HAM và áp dụng định lí Py-ta-go.

Bài toán 7:

Cho tam giác ABC. D là điểm thuộc cạnh BC.

Chứng minh rằng: AB² . CD + AC² . DB – AD² . BC = CD . DB . BC.

*GỢI Ý:

Ta vẽ thêm đường phụ là AH ⊥ BC, H ∈ BC để xuất hiện được các tam giác vuông và áp dụng được định lí Py-ta-go.

Bài toán 8:

a) Chứng minh rằng: “Trong hình thang cân ABCD (AB // CD), ta có:

AC² + BD² = AD² + BC² + 2AB.CD.”

b) Chứng minh rằng với mọi tứ giác ABCD, ta có

AC² + BD² £ AD² + BC² + 2AB.CD

Tìm điều kiện cần và đủ để dấu đẳng thức xảy ra.

(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu – ĐHQG.

Tp. Hồ Chí Minh 1997 – 1998)

*GỢI Ý:

Ta vẽ các đường phụ AH ⊥ DC, BK ⊥ DC, H ∈ DC, K ∈ DC.

Bài toán 9:

Cho tam giác ABC có các cạnh BC = a, AC = b, AB = c và các đường cao tương ứng lần lượt là h_a, h_b, h_c.

Chứng minh rằng:

a) h_a² ≤ $\displaystyle \frac{1}{4}$ (a + b + c)(-a + b + c)

b) h_a² + h_b² + h_c² ≤ $\displaystyle \frac{1}{4}$ (a + b + c)²

*GỢI Ý:

Ta có:

h_a² ≤ $\displaystyle \frac{1}{4}$ (a + b + c)(-a + b + c)

⇔ (2h_a) ² ≤ (b + c)² – a²

⇔ (2h_a)² + a² ≤ (b + c)²

Ta nghĩ đến định lí Py-ta-go, từ đó tìm tam giác vuông có hai cạnh góc vuông có độ dài bằng 2h_a, a và cạnh huyền là x mà x ≤ b + c.

Ta vẽ đường phụ là Ax // BC và điểm phụ D đối xứng với B qua Ax.

Bài toán 10:

Cho hình vuông ABCD. Qua A vẽ một cát tuyến bất kì, cắt các cạnh BC và CD (hoặc đường thẳng chứa các cạnh đó) tại các điểm E và F.

Chứng minh rằng $\displaystyle \frac{1}{{A{{E}^{2}}}}+\frac{1}{{A{{F}^{2}}}}=\frac{1}{{A{{D}^{2}}}}$ .

*GỢI Ý:

Đẳng thức cần chứng minh gợi ta nhớ đến công thức:

$\displaystyle \frac{1}{{{{h}^{2}}}}=\frac{1}{{{{b}^{2}}}}+\frac{1}{{{{c}^{2}}}}$

Do vậy tìm một tam giác vuông có hai cạnh góc vuông bằng AE, AF và có đường cao bằng AD. Điểm G thuộc DC sao cho GA ⊥ AF là điểm cần vẽ thêm.

Bài toán 11:

Cho hình thoi ABCD với $\displaystyle \widehat{A}$ = 120⁰. Tia Ax tạo với tia AB góc BAx bằng 15⁰ và cắt cạnh BC tại M, cắt đường thẳng CD tại N.

Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{1}{{A{{M}^{2}}}}+\frac{1}{{A{{N}^{2}}}}=\frac{4}{{3A{{B}^{2}}}}$ .

*GỢI Ý:

Bài toán 11 có “dáng dấp” của bài toán 10, đầu bài gợi ta đến công thức $\displaystyle \frac{1}{{{{h}^{2}}}}=\frac{1}{{{{b}^{2}}}}+\frac{1}{{{{c}^{2}}}}$ . Điều này cho ta nghĩ đến vẽ đường thẳng phụ AE ⊥ AN (E ∈ DC) và AH ⊥ DC (H ∈ DC).

ΔAEN có $\displaystyle \widehat{{EAN}}$ = 90⁰, AH ⊥ EN nên có:

$\displaystyle \frac{1}{{A{{E}^{2}}}}+\frac{1}{{A{{N}^{2}}}}=\frac{1}{{A{{H}^{2}}}}$

Nếu chứng minh được:

AE = AM, $\displaystyle \frac{1}{{A{{H}^{2}}}}=\frac{4}{{3A{{B}^{2}}}}$ , thì ta tìm ra lời giải bài toán.

Bài toán 12:

Cho tam giác ABC có $\displaystyle \widehat{A}$ = 60⁰.

Chứng minh rằng: BC² = AB² + AC² – AB.AC

(Đề thi học sinh giỏi lớp 9, Tp. Hồ Chí Minh, 1993 – 1994)

*GỢI Ý:

Ta vẽ đường phụ là đường cao CH (hoặc đường cao BK).

Với CH: Tam giác HAC là nửa tam giác đều, tam giác HBC vuông tại H.

Áp dụng định lí Py-ta-go vào các tam giác vuông này, ta sẽ có điều phải chứng minh.

Bài toán 13:

Cho tam giác cân ABC, $\displaystyle \widehat{A}$ = 20⁰, AB = AC = b, BC = a.

Chứng minh rằng: a³ + b³ = 3ab².

*GỢI Ý:

Vẽ tia Bx sao cho $\displaystyle \widehat{{CBx}}$ = 20⁰, Bx cắt cạnh AC tại D, $\displaystyle \widehat{{ABD}}$ = $\displaystyle \widehat{{ABC}}-\widehat{{CBx}}$ = 60⁰.

Ta có: ΔBDC ~ ΔABC.

⇔ $\displaystyle \frac{{BD}}{{AB}}=\frac{{BC}}{{AC}}=\frac{{DC}}{{BC}}$

ΔABD có $\displaystyle \widehat{{ABD}}$ = 60⁰, do đó:

AD² = AB² + BD² – AB.BD (Bài toán 12)

Từ đó tìm được đẳng thức cần chứng minh.

Bài toán 14:

Cho tam giác ABC có AB = 10 cm, AC = 6 cm, trung tuyến AM = 4 cm. Tính diện tích tam giác ABC

*GỢI Ý:

Các số 10, 6, 4 gợi ta nghĩ đến định lí Py-ta-go.

Thật vậy nếu gọi D là điểm đối xứng của điểm A qua điểm M thì tứ giác ACDB là hình bình hành và tam giác ADC vuông tại A (vì có các cạnh là 10, 6, 8).

Từ đó tìm được diện tích tam giác ABC.

Bài toán 15:

Cho hình vuông ABCD. Lấy O thuộc miền trong của hình vuông sao cho OA : OB : OC = 1 : 2 : 3.

Tính số đo của góc AOB.

*GỢI Ý:

Sau khi vẽ hình ta thấy $\displaystyle \widehat{{AOB}}$ = 135⁰. Ta vẽ tia OE sao cho $\displaystyle \widehat{{BOE}}$ = 45⁰ và chỉ còn chứng minh $\displaystyle \widehat{{EOA}}$ = 90⁰.

Tuy nhiên phải vẽ E sao cho ΔBEO vuông cân tại B thì mới tìm được lời giải của bài toán.

Một số hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông

Bài toán 16:

Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC = a, AC = b, AB = c.

Chứng minh rằng: $\displaystyle \frac{a}{{\sin A}}=\frac{b}{{\sin B}}=\frac{c}{{\sin C}}$ .

*GỢI Ý:

Ta vẽ đường phụ AH là đường cao của tam giác ABC.

Từ các tam giác vuông HAB, HAC ta có:

$\displaystyle \frac{b}{{\sin B}}=\frac{c}{{\sin C}}$ .

Bài toán 17:

Chứng minh rằng diện tích của một tam giác bằng một nửa tích của hai cạnh nhân với sin của góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy.

*GỢI Ý:

Gọi góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng BA, BC là a.

Hẳn các bạn sẽ nghĩ đến đường phụ là đường cao AH của tam giác ABC.

Bài toán 18:

Tính diện tích của một tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = m, BD = n và tạo với nhau một góc nhọn a.

*GỢI Ý:

Ta có: $\displaystyle \widehat{{AOB}}$ = $\displaystyle \widehat{{COD}}$ = a.

Từ bài toán 17 nghĩ đến vẽ BH, DK vuông góc với AC (H, K ∈ AC).

Ta có: S_ABCD = S_ABC + S_ADC, từ đó tìm ra kết quả bài toán.

Bài toán 19:

Cho tam giác ABC nhọn, có BC = a, AC = b, AB = c.

Chứng minh rằng: a² = b² + c² – 2bc.cosA.

*GỢI Ý:

Ta vẽ đường phụ là đường cao CH hoặc đường cao BK để xuất hiện các tam giác vuông có độ dài các cạnh là a, b, c và có $\displaystyle \widehat{A}$ .

Bài toán 20:

Cho tam giác ABC vuông tại A.

Chứng minh rằng: $\displaystyle \tan \frac{{\widehat{{ABC}}}}{2}=\frac{{AC}}{{AB+BC}}$

*GỢI Ý:

Để có $\displaystyle \frac{{\widehat{{ABC}}}}{2}$ ta có hai cách vẽ đường phụ:

1. Vẽ phân giác BD của ΔABC.

2. Vẽ điểm E trên tia đối của tia BA sao cho BE = BC, ta có: $\displaystyle \widehat{{AEC}}=\frac{{\widehat{{ABC}}}}{2}$

Cả hai cách đều cho ta lời giải đẹp.

Bài toán 21:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM bằng cạnh AC.

Chứng minh rằng: $\displaystyle \tan B=\frac{1}{3}\tan C$ .

*GỢI Ý:

Để làm xuất hiện “tanB, tanC” ta vẽ đường phụ là đường cao AH của ΔABC.

Mặt khác ΔAMC cân (vì AM = AC), do đó MH = HC, suy ra: BH = 3HC.

Bài toán 22:

Chứng minh rằng:

a) sin2a = 2.sina.cosa

b) cos2a = 1 – 2.sin²a

với mọi góc a.

*GỢI Ý:

Xét ΔABC cân tại A có $\displaystyle \widehat{A}$ = 2a, AB = AC = 1.

Dễ thấy cần vẽ thêm hai đường phụ AH, BK là các đường cao của tam giác ABC để có các tam giác vuông, làm xuất hiện các tỉ số lượng giác của các góc a và 2a.

Bài toán 23:

Cho hai góc a, b sao cho a + b < 90⁰.

Chứng minh rằng: sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa

*GỢI Ý:

Xét DABC có $\displaystyle \widehat{B}$ = a, $\displaystyle \widehat{C}$

= b, vì a + b < 90⁰nên $\displaystyle \widehat{{BAC}}$ là góc tù, bài toán 17 cho ta:

S_ABC = $\displaystyle \frac{1}{2}$ AB.AC.sinBAK = $\displaystyle \frac{1}{2}$ AB.AC.sin(a + b)

Hơn nữa S_ABC = $\displaystyle \frac{1}{2}$ h_a.a gợi ta nghĩ đến đường phụ là đường cao AH, vì sẽ có “sina, cosb” theo “AH, BC, AC, AB”… Và thật là tuyệt vời, lời giải đã đến với ta.

Bài toán 24:

Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c.

Chứng minh rằng: $\displaystyle \sin \frac{{\widehat{A}}}{2}\le \frac{a}{{b+c}}$

*GỢI Ý:

Vì cần chứng minh: $\displaystyle \sin \frac{{\widehat{A}}}{2}\le \frac{a}{{b+c}}$ . Ta vẽ phân giác AD của ΔABC và “để có $\displaystyle \sin \frac{{\widehat{A}}}{2}$ ” ta vẽ đường thẳng BI vuông góc với AD, I ∈ AD.