40 bài tập nâng cao Đại số 7

40 bài tập nâng cao Đại số 7 dành cho học sinh khá giỏi muốn tăng cường khả năng giải toán Đại số, ôn thi học sinh giỏi.

Bài 1. So sánh:   \displaystyle {{2009}^{{20}}}

\displaystyle {{20092009}^{{10}}}.

Bài 2. Tính tỉ số \displaystyle \frac{A}{B}

, biết:

\displaystyle {A=\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{{2007}}+\frac{1}{{2008}}+\frac{1}{{2009}}}

\displaystyle {B=\frac{{2008}}{1}+\frac{{2007}}{2}+\frac{{2006}}{3}+...+\frac{2}{{2007}}+\frac{1}{{2008}}}

Bài 3. Cho x, y, z, t \displaystyle \inN\displaystyle ^{*}.

Chứng minh rằng:   M = \displaystyle \frac{x}{{x+y+z}}+\frac{y}{{x+y+t}}+\frac{z}{{y+z+t}}+\frac{t}{{x+z+t}}có giá trị không phải là số tự nhiên.

Bài 4. Tìm x; y \displaystyle \in Z biết:

a. 25-y^{2}=8(x-2009)

b.

    \displaystyle {{x}^{3}}<span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="http://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-975a4f329f1c77c0bdac8a51ad61f96b_l3.png" height="40" width="296" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[\displaystyle y$ = $ \displaystyle x\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> \displaystyle {{y}^{3}}

+ 1997

c. x + y + 9 = xy – 7.

Bài 5. Tìm x biết :

a. \displaystyle \left| {5(2x+3)} \right|+\left| {2(2x+3)} \right|+\left| {2x+3} \right|=16

b. \displaystyle \left| {{{x}^{2}}+\left| {6x-2} \right|} \right|={{x}^{2}}+4.

Bài 6. Chứng minh rằng :   \displaystyle \frac{3}{{{{1}^{2}}{{{.2}}^{2}}}}+\frac{5}{{{{2}^{2}}{{{.3}}^{2}}}}+\frac{7}{{{{3}^{2}}{{{.4}}^{2}}}}+...+\frac{{19}}{{{{9}^{2}}{{{.10}}^{2}}}}< 1

Bài 7. Cho n số x1, x2, …, xn mỗi số nhận giá trị 1 hoặc -1. Chứng minh rằng nếu x1.x2 + x2.x3

+ …+ xn.x1 = 0 thì n chia hết cho 4.

Bài 8. Chứng minh rằng:

S = \displaystyle \frac{1}{{{{2}^{2}}}}-\frac{1}{{{{2}^{4}}}}+\frac{1}{{{{2}^{6}}}}-...+\frac{1}{{{{2}^{{4n-2}}}}}-\frac{1}{{{{2}^{{4n}}}}}+...+\frac{1}{{{{2}^{{2002}}}}}-\frac{1}{{{{2}^{{2004}}}}} < 0,2

Bài 9. Tính giá trị của biểu thức A = \displaystyle {{x}^{n}}+ \displaystyle \frac{1}{{{{x}^{n}}}} giả sử \displaystyle {{x}^{2}}+x+1=0.

Bài 10. Tìm max của biểu thức:   \displaystyle \frac{{3-4x}}{{{{x}^{2}}+1}}.

Bài 11. Cho x, y, z là các số dương. Chứng minh rằng :

D = \displaystyle \frac{x}{{2x+y+z}}+\frac{y}{{2y+z+x}}+\frac{z}{{2z+x+y}}\le \frac{3}{4}

Bài 12. Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận được sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức :

A(x) = ( 3 – 4x + x2 )2004 .( 3 + 4x + x2 )2005

Bài 13. Tìm các số a, b, c nguyên dương thỏa mãn :  \displaystyle {{a}^{3}}+3{{a}^{2}}+5={{5}^{b}}  và a + 3 =  \displaystyle {{5}^{c}}

Bài 14. Cho x = 2005. Tính giá trị của biểu thức :

\displaystyle {{x}^{{2005}}}-2006{{x}^{{2004}}}+2006{{x}^{{2003}}}-2006{{x}^{{2002}}}+...-2006{{x}^{2}}+2006x-1

Bài 15. Rút gọn biểu thức: \displaystyle N = \frac{{x\left| {x-2} \right|}}{{{{x}^{2}}+8x-20}}+12x-3

Bài 16. Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào   biết :   \displaystyle \left| x \right|={{y}^{3}}-{{y}^{2}}z

Bài 17. Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau:

\displaystyle B = 3+{{3}^{2}}+{{3}^{3}}+{{3}^{4}}+...+{{3}^{{2009}}}

Bài 18. Cho 3x – 4y = 0. Tìm min của biểu thức:  \displaystyle M = {{x}^{2}}+{{y}^{2}}.

Bài 19. Tìm x, y, z biết : \displaystyle \frac{{{{x}^{2}}}}{2}+\frac{{{{y}^{2}}}}{3}+\frac{{{{z}^{2}}}}{4}=\frac{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}}}{5}.

Bài 20. Tìm x, y biết rằng : \displaystyle \ {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+\frac{1}{{{{x}^{2}}}}+\frac{1}{{{{y}^{2}}}}=4

Bài 21. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số 1, c là số gồm n chữ số 6. Chứng minh rằng a + b + c + 8 là số chính phương.

Bài 22. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên a, tồn tại số tự nhiên b sao cho ab + 4 là số chính phương.

Bài 23. Chứng minh rằng nếu các chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện \displaystyle \overline{{ab}}:\overline{{cd}}=a:c thì \displaystyle \overline{{abbb}}:\overline{{bbbc}}=a:c.

Bài 24. Tìm phân số \displaystyle \frac{m}{n} khác 0 và số tự nhiên k, biết rằng \displaystyle \frac{m}{n}=\frac{{m+k}}{{nk}}.

Bài 25. Cho hai số tự nhiên a và b (a < b). Tìm tổng các phân số tối giản có mẫu bằng 7, mỗi phân số lớn hơn a nhưng nhỏ hơn b.

Bài 26. Chứng minh rằng:  A = 1 + 3 + 5 + 7 + … + n là số chính phương (n lẻ).

Bài 27. Tìm n biết rằng:  n\displaystyle ^{3} – n\displaystyle ^{2}+ 2n + 7 chia hết cho n\displaystyle ^{2} + 1.

Bài 28.  Chứng minh rằng:  B = \displaystyle {{2}^{{{{2}^{{2n+1}}}}}}+3 là hợp số với mọi số nguyên dương n.

Bài 29. Tìm số dư khi chia \displaystyle \displaystyle {{({{n}^{3}}-1)}^{{111}}}.{{({{n}^{2}}-1)}^{{333}}}   cho n.

Bài 30. Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5.

Bài 31.

a.  Chứng minh rằng: Nếu a không là bội số của 7 thì a6 – 1 chia hết cho 7.

b. Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có ít nhất 4 nghiệm.

c. Chứng minh rằng: a5 – a chia hết cho 10.

Bài 32. Tính giá trị của biểu thức: A = \displaystyle 5{{y}^{4}}+7x-2{{z}^{5}} tại (x2 – 1) + (y – z)2 = 16.

Bài 33. Chứng minh rằng:

a. 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) là một số nguyên.

b. M = \displaystyle \frac{{{{{1986}}^{{2004}}}-1}}{{{{{1000}}^{{2004}}}-1}} không thể là số nguyên.

c. Khi viết dưới dạng thập phân thì số hữu tỉ \displaystyle {{\left( {\frac{9}{{11}}-0,81} \right)}^{{2004}}}có ít nhất 4000 chữ số 0 đầu tiên sau dấu phẩy.

Bài 34. So sánh A và B biết :

A = \displaystyle \frac{1}{{{{{101}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{102}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{103}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{104}}^{2}}}}+\frac{1}{{{{{105}}^{2}}}}  và B = \displaystyle \frac{1}{{{{2}^{2}}{{{.3.5}}^{2}}.7}}.

Bài 35. Tìm x biết :

a. \displaystyle \frac{{{{7}^{{x+2}}}+{{7}^{{x+1}}}+{{7}^{x}}}}{{57}}=\frac{{{{5}^{{2x}}}+{{5}^{{2x+1}}}+{{5}^{{2x+3}}}}}{{131}}

b. (4x – 3)4 = (4x – 3)2

Bài 36. Ba ô tô cùng khởi hành từ A đi về phía B. Vận tốc của ô tô thứ nhất kém vận tốc của ô tô thứ hai là 3km/h. Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba đi hết quảng đường AB lần lượt là 40 phút, \displaystyle \frac{5}{8} giờ, \displaystyle \frac{5}{9} giờ. Tính vận tốc của mỗi ô tô.

Bài 37. Chứng minh rằng \displaystyle \sqrt{2}+ a (a \displaystyle \in Z+) là số vô tỉ.

Bài 38. Cho các số thực a, b sao cho tập hợp \displaystyle \left\{ {} \right.a2 + a ; b\displaystyle \left. {} \right\} và  \displaystyle \left\{ {} \right.b2 + b ; b\displaystyle \left. {} \right\} bằng nhau. Chứng minh rằng : a = b.

Bài 39. Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn : ab = bc = cd = de = ea.

Chứng minh rằng : a = b = c = d = e.

Bài 40. Tìm x, y biết:

a. 5x – 17y = 2xy và x – y = 5; 2x + 3y = xy.

b. x + 2y – 3z = 5xyz và (x – 2y)(y + 7) – x = 192 .( xyz > 0)

Đại số 7 - Tags: ,