Nguyên hàm của hàm số lượng giác

Tìm nguyên hàm của hàm lượng giác không hề khó nếu như các em nhớ được các công thức và nguyên hàm lượng giác đã học.

Để tính được nguyên hàm của hàm lượng giác các em cần phải nắm được công thức và các tính chất cơ bản của nguyên hàm (công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tích thành tổng, công thức hạ bậc…)

Công thức nguyên hàm lượng giác cơ bản:

$\displaystyle\int \sin a x \cdot d x=-\frac{\cos a \cdot x}{a}+C$

$\displaystyle\int \cos a x \cdot d x=\frac{\sin a \cdot x}{a}+C$

$\displaystyle\int \frac{1}{\cos ^{2} x} d x=\tan x+C$

$\displaystyle\int \frac{1}{\sin ^{2} x} d x=-\cot x+C$

Cách tính nguyên hàm lượng giác

Vận dụng các công thức trên vào giải các bài tập tính nguyên hàm lượng giác có lời giải dưới đây.

Bài tập 1. Nguyên hàm của hàm số $f(x) = 4cos4x$ là

$\displaystyle \begin{array}{*{20}{l}} {\text{ A}\text{. }\sin 4x+C} & {\text{ B}\text{. }-\frac{1}{4}\sin 4x+C} & {\text{ C}\text{. }-4\sin 4x+C} & {\text{ D}\text{. }-\sin 4x+C} \end{array}$

Giải:

$\displaystyle\int f(x) d x=\int 4 \cos 4 \mathrm{x}=4 \int \cos 4 x=4 \cdot \frac{1}{4} \sin 4 x+C=\sin 4 x+C$

⇒ Chọn đáp án A.

Bài tập 2. Tính $\displaystyle\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x,$ kết quả là:

A. $\displaystyle x-\frac{\sin 2 x}{2}+C$

B. $\displaystyle 2 x+\frac{\sin 2 x}{4}+C$

C. $\displaystyle\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C$

D. Kết quả khác

Giải:

Ta có:
$\displaystyle\int \sin ^{2} x \mathrm{d} x=\int \frac{1-\cos 2 \mathrm{x}}{2} d x=\int \frac{1}{2} d x-\int \frac{\cos 2 \mathrm{x}}{2} d x=\frac{x}{2}-\frac{\sin 2 x}{4}+C$