Đặt ẩn phụ giải tích phân lượng giác

Các bài toán tính tích phân lượng giác thường được giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ nếu như không giải được bằng các nguyên hàm lượng giác.

Đặt ẩn phụ là phương án thường nghĩ tới khi giải phương trình, bất phương trình. Và nó cũng sử dụng để giải các tích phân của hàm lượng giác.

Phương pháp đặt ẩn phụ giải tích phân lượng giác

Tích phân hàm số lượng giác có dạng tổng quát:

$\displaystyle I=\int_{a}^{b} F(\sin x, \cos x) d x$

Tùy thuộc vào tính chất và dạng đặc biệt của hàm $F(\sin x, \cos x)$

hoăc mối quan hệ giữa hàm $F(\sin x, \cos x)$

với các cận lấy tích phân mà chúng ta sử dụng phép biến đổi tương đương.

Dạng số 1: Nếu hàm lượng giác chẵn với Sin và Cos

Tức là: $F(\sin x,\cos x)=F(-\sin x,-\cos x)$

( $F\text{ }$ là hàm số chẵn theo $\sin x$ và $\cos x$ )

Cách giải: Đặt $t=\tan x$ hoăc $t=\cot x$

Bài toán 1. Tính tích phân

$\displaystyle I=\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{{\sqrt[3]{{{{{\sin }}^{3}}x-\sin x}}}}{{{{{\sin }}^{3}}x}}}}\cot xdx$

Giải:

Rõ ràng $F=\frac{\sqrt[3]{\sin ^{3} x-\sin x}}{\sin ^{3} x} \cot x=\frac{\sqrt[3]{(-\sin x)^{3}-(-\sin x)}}{(-\sin x)^{3}} \cdot \frac{-\cos x}{-\sin x}$ nên nó là hàm số chẵn theo $\sin x$ và $\cos x$ .

Ta có:

$\displaystyle I=\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{{\sqrt[3]{{1-\frac{1}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx=\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{{\sqrt[3]{{1-\left( {1+{{{\cot }}^{2}}x} \right)}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx=-\int_{{\frac{\pi }{6}}}^{{\frac{\pi }{3}}}{{\frac{{\sqrt[3]{{{{{\cot }}^{2}}x}}}}{{{{{\sin }}^{2}}x}}}}\cot xdx$

Đặt $t=\cot x \Rightarrow d t=-\frac{1}{\sin ^{2} x} d x$

Khi $x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow t=\sqrt{3} ; x=\frac{\pi}{3} \Rightarrow t=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Từ đó

$\displaystyle I=\int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} t^{\frac{1}{3}} \cdot t d t=\int_{\sqrt{3}}^{\frac{1}{\sqrt{3}}} t^{\frac{5}{3}} d t=\sqrt{\frac{1}{8}\left(9 \sqrt[3]{3}-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)}$

Dạng số 2: Nếu hàm số lượng giác lẻ với Cos

Tức là: $F(\sin x,\cos x)=-F(\sin x,-\cos x)$ ( $F$ là hàm số lẻ theo $\cos x$ )

Cách giải: Đặt $t=\sin x$

Bài toán 2. Tính tích phân

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin 2 x}{(2+\sin x)^{2}} d x$

Giải:

Ta thấy $F=\frac{\sin 2 x}{(2+\sin x)^{2}}=\frac{2 \sin x \cos x}{(2+\sin x)^{2}}=-\frac{2 \sin x(-\cos x)}{(2+\sin x)^{2}}$ nên $F$ là hàm số lẻ theo $\cos x$
Ta có

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{2 \sin x \cos x}{(2+\sin x)^{2}} d x$

Đặt $t=\sin x \Rightarrow d t=\cos x d x$

Khi $x=0 \Rightarrow t=0 ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$

Từ đó:

$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{t}{(2+t)^{2}} d t=2\left(\int_{0}^{1} \frac{1}{2+t} d t-\int_{0}^{1} \frac{1}{(2+t)^{2}} d t\right)=2\left(\ln \frac{3}{2}-\frac{1}{3}\right)$

Dạng số 3:Nếu hàm số lượng giác lẻ với Sin

Tức là: $F(\sin x,\cos x)=-F(-\sin x,\cos x)$ ( $F$ là hàm số lẻ theo $\sin x$ )

Cách giải: Đặt $t=\cos x$

Bài toán 3. Tính tích phân

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin x-\sin ^{3} x}{\cos 2 x} d x$

Giải:

Ta thấy $\displaystyle F=\frac{\sin x-\sin ^{3} x}{\cos 2 x}=-\frac{(-\sin x)-(-\sin x)^{3}}{\cos 2 x}$ nén $F$ là hàm số lẻ theo $\sin x$

Đặt $\displaystyle t=\cos x \Rightarrow d t=-\sin x d x$

Khi $\displaystyle x=0 \Rightarrow t=1 ; x=\frac{\pi}{6} \Rightarrow t=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Ta có:

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\frac{\pi}{6}}{\frac{\sin x-\sin ^{3} x}{\cos 2 x}} d x=\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\sin ^{2} x-1}{2 \cos ^{2} x-1}(-\sin x) d x=-\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos ^{2} x}{2 \cos ^{2} x-1}(-\sin x) d x$

$\displaystyle =-\int_{1}^{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{{{t}^{2}}}}{{2{{t}^{2}}-1}}}}dt=-\frac{1}{2}\int_{1}^{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{2{{t}^{2}}-1+1}}{{2{{t}^{2}}-1}}}}dt=-\frac{1}{2}\left( {\int\limits_{1}^{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{dt+\int\limits_{1}^{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{dt}}{{2{{t}^{2}}-1}}}}}}} \right)$

$\displaystyle =-\frac{1}{2}\left( {\int\limits_{1}^{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{dt-\frac{1}{2}\int_{1}^{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{\sqrt{2}t-1-(\sqrt{2}t+1)}}{{(\sqrt{2}t-1)(\sqrt{2}t+1)}}}}}}} \right)$

$\displaystyle =-\frac{1}{2}\left( {\frac{{\sqrt{3}}}{2}-1-\frac{1}{2}\left( {\int\limits_{1}^{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{dt}}{{\sqrt{2}t+1}}-\int_{1}^{{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}}{{\frac{{dt}}{{\sqrt{2}t-1}}}}}}} \right)} \right)$

$\displaystyle =\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{4}+\frac{1}{{4\sqrt{2}}}\left( {\ln \left( {\frac{{\sqrt{6}}}{2}+1} \right)-\ln (\sqrt{2}+1)-\ln \left( {\frac{{\sqrt{6}}}{2}-1} \right)+\ln (\sqrt{2}-1)} \right)$

Dạng số 4: Nếu hàm số lượng giác dạng phân thức

Tức là: $\displaystyle F(\sin x, \cos x)=\frac{a_{1} \sin x+b_{1} \cos x+c_{1}}{a_{2} \sin x+b_{2} \cos x+c_{2}}$

Cách giải: Đặt $\displaystyle t=\tan \frac{x}{2}$

Bài toán 4. Tính tích phân $\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{d x}{4 \sin x+3 \cos x+5}$

Giải:

Đặt $\displaystyle t=\tan \frac{x}{2} \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}d x=\frac{2 d t}{1+t^{2}} \\ \sin x=\frac{2 t}{1+t^{2}} ; \cos x=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\end{array}\right.$

Khi $x=0 \Rightarrow t=1 ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=1$

Ta có

$\displaystyle I=\int_{0}^{1} \frac{1}{\frac{8 t}{1+t^{2}}+3 \frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}+5} \cdot \frac{2 d t}{1+t^{2}}=\int_{0}^{1} \frac{d t}{t^{2}+4 t+4}=\int_{0}^{1} \frac{d(t+2)}{(t+2)^{2}}=\frac{1}{6}$

Bài toán 5. Tính tích phân

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{\cos ^{n} x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x} d x$

Trong đó n là số nguyên dương

Lời giải:

Đặt $\displaystyle t=\frac{\pi}{2}-x \Rightarrow d x=-d t$

Khi $\displaystyle x=0 \Rightarrow t=\frac{\pi}{2} ; x=\frac{\pi}{2} \Rightarrow t=0$

Từ đó

$\displaystyle I=-\int_{\frac{\pi}{2}}^{0} \frac{\cos ^{n}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)}{\cos ^{n}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)+\sin ^{n}\left(\frac{\pi}{2}-t\right)} d t=\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{\sin ^{n} t}{\sin ^{n} t+\cos ^{n} t} d t=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin ^{n} x}{\sin ^{n} x+\cos ^{n} x} d x$

Do đó

$\displaystyle 2 I=\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{\sin ^{n} x}{\sin ^{n} x+\cos ^{n} x} d x+\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{\cos ^{n} x}{\cos ^{n} x+\sin ^{n} x} d x=\int_{0}^{\frac{x}{2}} d x=\frac{\pi}{2}$

Vậy $\displaystyle I=\frac{\pi }{4}$

Bài toán 6. Tính tích phân

$\displaystyle I=\int_{0}^{3 \pi} \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x d x$

Lời giải:

Ta có

$\displaystyle I=\int_{0}^{\frac{3 x}{2}} \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x d x+\int_{\frac{3 x}{2}}^{3 \pi} \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x d x(1)$

Xét tích phân

$\displaystyle J=\int_{{\frac{{3\pi }}{2}}}^{{3\pi }}{{\sin }}x\cdot \sin 2x\cdot \sin 3xdx$

Đặt $t=3 \pi-x \Rightarrow d x=-d t$

Khi $x=\frac{3 \pi}{2} \Rightarrow t=\frac{3 \pi}{2} ; x=3 \pi \Rightarrow t=0$

Từ đó

$\displaystyle J=-\int_{{\frac{{3\pi }}{2}}}^{0}{{\sin }}(3\pi -t)\cdot \sin (6\pi -2t)\cdot \sin (9\pi -3t)dt$

$\displaystyle =-\int_{0}^{{\frac{{3\pi }}{2}}}{{\sin }}t\cdot \sin 2t\cdot \sin 3tdt=-\int_{0}^{{\frac{{3\pi }}{2}}}{{\sin }}x\cdot \sin 2x\cdot \sin 3xdx(2)$