Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc bằng vectơ

Contents

Để chứng minh cho hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ, chúng ta chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0.

Tức là: $AB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

Xét ví dụ có lời giải dưới đây.

Ứng dụng vectơ chứng minh vuông góc

Bài toán: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở điểm S và gọi M là trung điểm của AB. CMR: SM vuông góc A’B’.

Giải

Xét tích vô hướng

$\displaystyle \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A'B'}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}).(\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SA'})$

$\displaystyle =\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA'}+\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA'})$

Ta có:

$\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB'}=0\\\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA'}=0\\\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA'}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB'}\end{array}$

Từ đó suy ra $\displaystyle \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A'B'}=0$ nên SM vuông góc với A’B.

Bài tập

Bài 1: Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ , $D$ là trung điểm cạnh $AB$ , $E$ là trọng tâm của $\Delta ACD$ . Chứng minh rằng nếu $AB=AC$ thì $OE\bot CD$ .

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ cân tại $A.$ Gọi $D$ là trung điểm cạnh $AB$ , $E$ là trọng tâm $\Delta ADC$ . Chứng minh $IE\bot CD$ . ( $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ ).