Bài tập chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10 có lời giải
Chia sẻ phương pháp để làm các bài tập chứng minh đẳng thức vectơ trong chương trình lớp 10 qua lý thuyết và ví dụ có lời giải.
Ngoài việc nắm vững lý thuyết về các phép cộng, trừ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng các em cần phải biết:
1) Lý thuyết vectơ áp dụng
+ Quy tắc 3 điểm:

+ Quy tắc hình bình hành:
+ Quy tắc trung điểm: với
là trung điểm của
.
+ Quy tắc trọng tâm: với
là trong tâm tam giác
.
+ Các tính chất của các phép toán.
2) Phương pháp
+ Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).
+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.
+ Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.
– Chú ý: và
có cùng trong tâm khi và chi
Ví dụ 1: Cho 4 điểm . Chứng minh rằng:
a)
b)
Cách 1: Biến đổi vế trái (VT) ta có:
Nhận xét: Sử dụng cách giải này, ta cần chú ý khi biến đổi các số hạng của một vế cần quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ở vế bên kia. Chẳng hạn số hạng ở vế trái là nhưng vế phải có chứa
nên ta viết
Cách 2: Ta có:
Ta có (2) luôn đúng vậy (1) được chứng minh.
Cách 3: Ta có:
Suy ra
Do đó:
b) Ta có:
Tương tự ta cũng có các cách chứng minh khác cho câu b.
Ví dụ 2: Cho tam giác và
là trong tâm tam giác
.
a) Chứng minh rằng:
b) Tìm tập hợp điểm sao cho
b) hay
do do
Suy ra tập hợp thỏa mắn
là
.
3. Bài tập
Bài 1. Cho tứ diện . Gọi
và
lần lượt là trung điểm
và
Chứng minh:
a)
b) Điểm là trọng tâm của tứ diện
khi và chỉ khi
Bài 2. Cho tứ diện với
là trọng tâm.
a) Chứng minh
b) Gọi là trọng tâm tam giác
. Chứng minh:
Bài 3. Cho hình hộp . Gọi
,
,
lần lượt là điểm đối xứng của điểm
qua
,
,
. Chứng tỏ rằng
là trọng tâm của tứ diện
Bài 4. Cho hình hộp . Gọi
lần lươt là điềm đối xứng của điểm
qua
Chứng tỏ rằng
là trọng tâm của tứ diện
Bài 5. Cho hình chóp .
Chứng minh rằng nếu là hình bình hành thì
Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng tỏ rằng là hình bình hành khi và chỉ khi