Bài tập chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10 có lời giải

Chia sẻ phương pháp để làm các bài tập chứng minh đẳng thức vectơ trong chương trình lớp 10 qua lý thuyết và ví dụ có lời giải.

Ngoài việc nắm vững lý thuyết về các phép cộng, trừ, nhân vectơ với một số, tích vô hướng các em cần phải biết:

1) Lý thuyết vectơ áp dụng

+ Quy tắc 3 điểm: \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{A C}-\overrightarrow{A B}=\overrightarrow{B C}

với mọi A, B, C.

+ Quy tắc hình bình hành: \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{A C}

 với ABCD là hình bình hành.

+ Quy tắc trung điểm: \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}=2 \overrightarrow{M I} với I là trung điểm của A B.

+ Quy tắc trọng tâm: \overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C}=\overrightarrow{0} với G là trong tâm tam giác A B C.

+ Các tính chất của các phép toán.

2) Phương pháp

+ Biến đổi vế này thành vế kia của đẳng thức (thông thường là xuất phát từ vế phức tạp biến đổi rút gọn để đưa về vế đơn giản hơn).

+ Biến đổi đẳng thức cần chứng minh về tương đương với một đẳng thức luôn đúng.

+ Xuất phát từ một đẳng thức luôn đúng để biến đổi về đẳng thức cần chứng minh.

– Chú ý: \Delta A B C và \Delta A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} có cùng trong tâm khi và chi \mathrm{khi} \overline{A A^{\prime}}+\overline{B B^{\prime}}+\overline{C C^{\prime}}=\overrightarrow{0}

Ví dụ 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng:

a) \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}

b) \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}

Cách 1: Biến đổi vế trái (VT) ta có:
V T=\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B})+(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D}) \quad=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{D B}+\overrightarrow{B D} \quad=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{0}
=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}=V P

Nhận xét: Sử dụng cách giải này, ta cần chú ý khi biến đổi các số hạng của một vế cần quan tâm phân tích làm xuất hiện các số hạng có ở vế bên kia. Chẳng hạn số hạng ở vế trái là \overrightarrow{A B} nhưng vế phải có chứa \overrightarrow{A D} nên ta viết \overrightarrow{A B}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{D B}

Cách 2: Ta có:

\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}(1) \Leftrightarrow \overrightarrow{A B}-\overrightarrow{A D}=\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C D} \Leftrightarrow \overrightarrow{D B}=\overrightarrow{D B}(2)

Ta có (2) luôn đúng vậy (1) được chứng minh.

Cách 3: Ta có:

\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}+\overrightarrow{C D}+\overrightarrow{D A}=\overrightarrow{0}

Suy ra \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=-\overrightarrow{D A}-\overrightarrow{B C}

Do đó: \overrightarrow{A B}+\overrightarrow{C D}=\overrightarrow{A D}+\overrightarrow{C B}

b) Ta có:

VT=\overrightarrow{A B}-\overrightarrow{C D}=(\overrightarrow{A C}+\overrightarrow{C B})-(\overrightarrow{C B}+\overrightarrow{B D})=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}+\overrightarrow{C B}-\overrightarrow{C B}=\overrightarrow{A C}-\overrightarrow{B D}=VP

Tương tự ta cũng có các cách chứng minh khác cho câu b.

Ví dụ 2: Cho tam giác A B C và G là trong tâm tam giác A B C.

a) Chứng minh rằng: \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=3 \overrightarrow{M G}

b) Tìm tập hợp điểm M sao cho \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=0

\begin{array}{llll}\text { a) } & \text { Ta } & \text { có: } & \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C} & =(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G A})+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G B})+(\overrightarrow{M G}+\overrightarrow{G C})\end{array}

=3 \overrightarrow{M G}+(\overrightarrow{G A}+\overrightarrow{G B}+\overrightarrow{G C})=3 \overrightarrow{M G}+\overrightarrow{0}=3 \overrightarrow{M G}

b) \mathrm{Vi} \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\overrightarrow{0}
3 \overrightarrow{M G}=\overrightarrow{0} hay \overrightarrow{M G}=\overrightarrow{0} do do M \equiv G

Suy ra tập hợp M thỏa mắn \overrightarrow{M A}+\overrightarrow{M B}+\overrightarrow{M C}=\vec{O} là \{G\}.

3. Bài tập

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm AB và CD. Chứng minh:

a) \displaystyle 2\overrightarrow{{MN}}=\overrightarrow{{AD}}+\overrightarrow{{BC}}=\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{BD}}

b) Điểm G là trọng tâm của tứ diện ABCD khi và chỉ khi \displaystyle \overrightarrow{{GA}}+\overrightarrow{{GB}}+\overrightarrow{{GC}}+\overrightarrow{{GD}}=\overrightarrow{0}

Bài 2. Cho tứ diện ABCD với G là trọng tâm.

a) Chứng minh \overrightarrow{{AB}}+\overrightarrow{{AC}}+\overrightarrow{{AD}}=4\overrightarrow{{AG}}

b) Gọi {A}' là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh: \overrightarrow{{{A}'B}}.\overrightarrow{{A{A}'}}+\overrightarrow{{{A}'C}}.\overrightarrow{{A{A}'}}+\overrightarrow{{{A}'D}}.\overrightarrow{{A{A}'}}=\vec{0}

Bài 3. Cho hình hộp ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'. Gọi {{D}_{1}}, {{D}_{2}}, {{D}_{3}} lần lượt là điểm đối xứng của điểm {D}' qua A , {B}', C. Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện {{D}_{1}}{{D}_{2}}{{D}_{3}}{D}'.

Bài 4. Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'. Gọi D_{1}, D_{2}, D_{3} lần lươt là điềm đối xứng của điểm D' qua A, B^{\prime}, C . Chứng tỏ rằng B là trọng tâm của tứ diện D_{1} D_{2} D_{3} D^{\prime}

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD.

Chứng minh rằng nếu ABCD là hình bình hành thì \overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SD}}=\overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SC}}

Gọi O là giao điểm của AC và BD . Chứng tỏ rằng ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi \overrightarrow{{SA}}+\overrightarrow{{SB}}+\overrightarrow{{SC}}+\overrightarrow{{SD}}=4\overrightarrow{{SO}}

Hình học 10 - Tags: