Các dạng toán áp dụng Tỉ lệ thức – Toán lớp 7

Tỉ lệ thức hay tính chất dãy tỉ số bằng nhau là kiến thức các em được học ở chương trình Đại số – Toán lớp 7.

Trước tiên các em cần ghi nhớ lý thuyết tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai số $\displaystyle\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
( a, d: ngoại trung tỉ).

– Tính chất cơ bản: Nếu $\displaystyle\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

thì $ad = bc$

Nếu $ad = bc$

và $\displaystyle a,\text{ }b,\text{ }c,\text{ }d\text{ }\#\text{ }0$

thì ta có các tỉ lệ thức:

$\displaystyle\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

; $\displaystyle\displaystyle \frac{a}{c}=\frac{b}{d}$ ; $\displaystyle\displaystyle \frac{d}{b}=\frac{c}{a}$ ; $\displaystyle\displaystyle \frac{d}{c}=\frac{b}{a}$

– Mở rộng: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=K$ Thì $\displaystyle\frac{{{{K}_{1}}.a+{{K}_{2}}.c+{{K}_{3}}.e}}{{{{K}_{1}}.b+{{K}_{2}}.d+{{K}_{3}}.f}}=K$

* Hướng dẫn học sinh làm bài tập áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau cơ bản và nâng cao.

Dạng 1: Tìm thành phần chưa biết của tỉ lệ thức (dãy tỉ số bằng nhau)

Ví dụ 1: Tìm các số $x, y, z$ biết.

$5.x=8.y=20.z$ và $x - y - z = 3$ .

**Có thể định hướng học sinh giải theo 3 cách

*Để tìm được 3 số $x, y, z$ cần sử dụng tính chất của tỉ lệ thức, tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Muốn vậy cần sử dụng giả thiết của bài toán, đi từ giả thiết của bài toán, biến đổi để xuất hiện các tỉ lệ thức, các tỉ số bằng nhau.

Cách 1.

Vì 5x = 8y ⇒ $\displaystyle\frac{x}{8}$ = $\displaystyle\frac{y}{5}$ (1)

8y = 20z ⇒ $\displaystyle\frac{y}{{20}}$ = $\displaystyle\frac{z}{8}$ ⇒ $\displaystyle\frac{y}{5}$ = $\displaystyle\frac{z}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\displaystyle\frac{x}{8}$ = $\displaystyle\frac{y}{5}$ = $\displaystyle\frac{z}{2}$

*Sử dụng tính chất của dãy số bằng nhau biến đổi để sử dụng điều kiện còn lại của bài toán.

Cách 2:

Vì $5.x = 8.y = 20.z$ ⇒ $\displaystyle\frac{x}{{\frac{1}{5}}}=\frac{y}{{\frac{1}{8}}}=\frac{z}{{\frac{1}{{20}}}}=...$

Cách 3:

$5x=8y=20z$

Cùng chia các tích trên cho BCNN (5, 8, 20) là 40 ta được.

$\displaystyle\frac{{5x}}{{40}}=\frac{{8y}}{{40}}=\frac{{20z}}{{40}}$ ⇒ $\displaystyle\frac{x}{8}$ = $\displaystyle\frac{y}{5}$ = $\displaystyle\frac{z}{2}$ =…

Trong các cách giải trên: Cách 1 đơn giản, dễ hiểu nhưng hơi dài.

Cách 2: Ngắn song bước biến đổi tiếp theo lại phức tạp hơn ( Cộng 3 phân số khác mẫu)

Cách 3: Đối với học sinh khá, giỏi phù hợp hơn.

Ví dụ 2: Tìm $x, y$ biết

$\displaystyle\frac{{2x+1}}{5}=\frac{{3y-2}}{7}=\frac{{2x+3y-1}}{{6x}}$ .

*Hướng dẫn học sinh nhận xét mối quan hệ các biểu thức trong 3 tỉ số từ đó có cách làm hợp lý:

Bài tập tự giải:

Bài 1. Tìm 3 số $x, y, z$ biết.

$\displaystyle\frac{4}{{x+1}}=\frac{2}{{y-2}}=\frac{3}{{z+2}}$ và $x.y.z = 12$

Bài 2. Tìm $x, y$ biết.

$\displaystyle\frac{{{{y}^{2}}-{{x}^{2}}}}{3}=\frac{{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{5}$ và $x^{10} \cdot y^{10}=1024$

Bài 3. Tìm tỉ lệ 3 cạnh của một tam giác biết rằng nếu cộng lần lượt độ dài từng hai đường cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5:7:8.

Dạng 2. Chứng minh tỉ lệ thức

Từ một tỉ lệ thức có thể chuyển thành đẳng thức đúng giữa hai tích. Học sinh nắm vững phương pháp chứng minh tỉ lệ thức, sau này có thể giải quyết tốt dạng toán chứng minh đẳng thức ở các lớp trên.

Do đó khi dạy về tỉ lệ thức cần yêu cầu học sinh khá, giỏi hiểu và chứng minh được các tính chất của tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Ví du 1: Cho tỉ lệ thức: $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ≠ 1 Với $a, b, c, d ≠ 0$

Chứng minh rằng: $\displaystyle\frac{{a-b}}{a}=\frac{{c-d}}{c}$

Giáo viên định hướng cho học sinh các cách chứng minh.

Cách 1. Dựa vào tính chất của tỉ lệ thức

$\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ⇔ $a.d = b.c$

Để có được tỉ lệ thức (Điều cần chứng minh) cần có hai tích bằng nhau. Ta biến đổi tích thứ nhất để có kết quả bằng tích thứ hai.

Xét tích

$(a-b). c = a.c - b.c$

$= a.c - a.d$

$= a.(c-d)$ (Vì $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ⇒ $a.d = b.c$ Đặt thừa số chung)

Vậy $(a-b).c = a.(c-d)$ ⇒ $\displaystyle\frac{{a-b}}{a}=\frac{{c-d}}{c}$ .

Cách 2. Để chứng minh tỉ lệ thức ( Hai tỉ số bằng nhau ) ta chứng minh hai tỉ số đó bằng tỉ số thứ 3.

Đặt $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ = K ⇒ $\displaystyle\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {a=} & {b.K} \\ {c=} & {d.K} \end{array}} \right.$

Nếu có:

$\displaystyle\frac{{a-b}}{a}=\frac{{b.K-b}}{{b.K}}=\frac{{b(K-1)}}{{b.K}}=\frac{{K-1}}{K}$ (1)

$\displaystyle\frac{{c-d}}{c}=\frac{{d.K-d}}{{d.K}}=\frac{{d(K-1)}}{{d.K}}=\frac{{K-1}}{K}$ (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $\displaystyle\frac{{a-b}}{a}=\frac{{c-d}}{c}$ .

**GV hình thành cho học sinh cách chứng minh đẳng thức có thể biến đổi cả hai vế để chúng có cùng một giá trị.

Cách 3. Vì $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ⇒ $\displaystyle\frac{b}{a}=\frac{d}{c}$ ⇒ $\displaystyle 1-\frac{b}{a}=1-\frac{d}{c}$

⇒ $\displaystyle\frac{{a-b}}{a}=\frac{{c-d}}{c}$

*Hướng dẫn học sinh giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau, cho học sinh nhận xét các cách giải.

Giáo viên chốt lại cách nào hay vận dụng và giải quyết được nhiều bài toán nhất. Tuỳ theo từng bài mà có cách giải hợp lý.

Ví dụ 2. Cho $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ ( c ≠ ± $\displaystyle\frac{3}{5}d$ ).

CMR: $\displaystyle\frac{{5a+3b}}{{5c+3d}}=\frac{{5a-3b}}{{5c-3d}}$ .

Cách 1. Sử dụng tính chất của dãy số bằng nhau.

Cách 2. Chứng minh 2 tỉ số có cùng giá trị.

Đặt $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ = K. Khi đó cả hai tỉ số cùng bằng $\displaystyle\frac{b}{d}$ .

Bài tập tự giải:

Bài 1. Cho $b^{2}=a \cdot c$ . Chứng minh rằng: $\displaystyle\frac{{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}}{{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}}=\frac{a}{c}$ .

Bài 2. Cho $\displaystyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$ $≠ ± 1$ và $c ≠ 0$

CMR rằng: $\displaystyle {{\left( {\frac{{a-b}}{{c-d}}} \right)}^{2}}=\frac{{a.b}}{{c.d}}$ .

Bài 3. Chứng minh rằng nếu ta có dãy tỉ số bằng nhau.

$\displaystyle\frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{2}}}}=\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{a}_{3}}}}=\frac{{{{a}_{3}}}}{{{{a}_{4}}}}=...=\frac{{{{a}_{{2005}}}}}{{{{a}_{{2006}}}}}$ Thì có thể suy ra được biểu thức.

$\displaystyle\frac{{{{a}_{1}}}}{{{{a}_{{2006}}}}}={{\left( {\frac{{{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+...+{{a}_{{2005}}}}}{{{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}+...+{{a}_{{2006}}}}}} \right)}^{{2005}}}$ .

Dạng 3. Tính giá trị của biểu thức

Ví dụ 1: Cho bốn số $a, b, c, d$ Sao cho $a + b + c + d ≠ 0$

Biết $\displaystyle\frac{{b+c+d}}{a}=\frac{{c+d+a}}{b}=\frac{{d+a+b}}{c}=\frac{{a+b+c}}{d}=K$

Tính giá trị của $K$ .

Cách 1. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta được.

$\displaystyle\frac{{3(a+b+c+d)}}{{a+b+c+d}}=K$ ⇒ $K= 3$

Cách 2. Cộng thêm 1 vào mỗi tỉ số ⇒ $a = b = c = d$

⇒ $K=3$

Bài tập tự giải:

Bài 1: Biết $\displaystyle\frac{a}{{{{a}^{,}}}}=\frac{b}{{{{b}^{,}}}}=\frac{c}{{{{c}^{,}}}}=4$ Và $\displaystyle {{a}^{{,~}}}+~3{{b}^{{,~}}}-~2{{c}^{{,~}}}\ne 0$