Các dạng toán đường tròn lớp 9

Chứng minh điểm thuộc đường tròn, xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là 2 dạng toán cơ bản về đường tròn ở lớp 9.

Trong bài viết này Gia sư Tiến Bộ chia sẻ với các em phương pháp làm các dạng bài tập về đường tròn qua ví dụ có lời giải.

*Chú ý: Học sinh phải học thuộc lý thuyết đường tròn trước khi đọc tiếp bài viết này.

Dạng 1: Chứng minh nhiều điểm cùng thuộc 1 đường tròn

* Cách giải: Chứng minh các điểm đã cho cách đều 1 điểm cho trước

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O), các đường cao lần lượt là AD, BE, CF. Chứng minh rằng, bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

* Lời giải:

– Theo giả thiết:

BE là đường cao ⇒ BE ⊥ AC ⇒ \widehat{B E C}=90^{\circ}

.

CF là đường cao ⇒ CF ⊥ AB ⇒ \widehat{B F C}=90^{\circ}

.

⇒ E và F cùng nhìn BC dưới một góc 900

⇒ E và F cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

⇒ Vậy bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đường tròn.

Dạng 2: Xác định tâm và bán kính của đường tròn ngoại tiếp

* Cách giải:

– Tam giác thường: Vẽ hai đường trung trực, giao của 2 đường trung trực là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác

– Tam giác vuông: Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

– Tam giác cân: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác nằm trên đường cao hạ từ đỉnh xuống đáy tam giác.

– Tam giác đều: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác trùng với trọng tâm, trực tâm và tâm đường tròn nội tiếp tam giác.

Ví dụ 2: Tính bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC vuông cân có cạnh góc vuông bằng a.

* Lời giải:

– Theo định lý pitago ta tính chiều dài cạnh huyền, ta có:

\displaystyle c^{2}=a^{2}+a^{2} \Rightarrow c=a \sqrt{2}

– Vì tam giác vuông cân, nên tâm đường tròn là trung điểm của cạnh huyền và chiều dài bán kính là: \displaystyle R=\frac{c}{2}=\frac{c \sqrt{2}}{2}

Ví dụ 3:Xác định tâm và bán kính của đường tròn tâm (O) ngoại tiếp tam giác đều ABC có cạnh bằng a.

* Lời giải:

– Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC là trực tâm của tam giác ABC.

– Từ A hạ đường cao AH xuống BC, ta có: \displaystyle H B=H C=\frac{B C}{2}=\frac{a}{2}

– Công thức suy ra từ pitago: \displaystyle A H^{2}=A C^{2}-H C^{2}=a^{2}-\left(\frac{a}{2}\right)^{2}=\frac{3 a^{2}}{4} \Rightarrow A H=\frac{a \sqrt{3}}{2}

⇒ Tâm đường tròn là trực tâm của tam giác và có bán kính: \displaystyle R=\frac{2}{3} A H=\frac{a \sqrt{3}}{3}

Bài tập về đường tròn có lời giải

Bài 1: Cho hình thoi ABCD . Gọi O là giao điểm hai đường chéo ; M, N, R, S là hình chiếu của O lần lượt trên AB , BC, CD và DA . Chứng minh 4 điểm M, N, R, S thuộc một đường tròn .

* Lời giải: Chứng minh 4 tam giác vuông bằng nhau.

ΔMBO = ΔNBO = ΔRBO = ΔABO

(vì cạnh huyền bằng nhau ,góc nhọn bằng nhau)

* Suy ra OM = ON = OR = OS

* Vậy M, N, R, S ∈ O

Bài 2: Cho Δ ABC cân tại A ; Nội tiếp Đường tròn (O) ; Đường cao AH cắt Đường tròn ở D .

1) Vì sao AD là đường kính của (O) ?

2) Tính số đo góc ACD ?

3) Cho BC = 24 cm ; AC = 20 cm ;Tính chiều cao AH và bán kính của (O)

* Lời giải:

1) Vì tâm O là giao điểm của 3 đường trung trực của  Δ ABC

Mà Δ ABC cân ở A nên đường cao AH cũng chính là trung trực ⇒ O ∈ AH

⇒ AD là dây qua tâm ⇒ AD là đường kính

2) Nối DC; OC

Ta có CO là trung tuyến mà CO = AD/2 = R

⇒ Δ ACD vuông ở C nên  = 900

3) Vì AH là trung trực ⇒  BH = HC = BC/2 =24/2 = 12

Xét Δ vuông AHC có : A H=\sqrt{\left(A C^{2}-C H^{2}\right)}=\sqrt{\left(20^{2}-12^{2}\right)}=16 \mathrm{cm}

Xét Δ vuông ACD có : AC2 = AH .AD

⇒ AD = AC2 / AH = 202 /16 = 25 cm ⇒ R = AD /2 = 25 /2 =12,5 cm

Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB, điểm M thuộc đường tròn, vẽ điểm N đối xứng với A qua M; BN cắt đường tròn tại C, gọi E là giao điểm của AC và BM.

1) Chứng minh: NE ⊥ AB

2) Gọi F là điểm đối xứng với E qua M. Chứng minh FA là tiếp tuyến của đường tròn (O)

3) Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB) . Giả sử  HB=R/2 , tính CB; AC theo R

Bài 4: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy điểm C trên đường tròn sao cho AC = R.

1) Tính BC theo R và các góc của tam giác ABC.

2) Gọi M là trung điểm của AO, vẽ dây CD đi qua M. Chứng minh tứ giác ACOD là hình thoi.

3) Tiếp tuyến tại C của đường tròn cắt đường thẳng AB tại E. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O)

4) Hai đường thẳng EC và DO cắt nhau tại F. Chứng minh C là trung điểm của EF

Bài 5: Cho hai đường tròn (O; R) và (O; R’) tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài BC. với B ∈ (O) và C (O’)

1) Tính góc BÂC

2) Vẽ đường kính BOD. Chứng minh 3 điểm C, A, D thẳng hàng

3) Tính DA.DC

4) Chứng minh OO’ là tiếp tuyến của đường tròn có đường kính BC, và tính BC?

Bài 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB. Trên đường tròn lấy 1 điểm C sao cho AC>BC. Các tiếp tuyến tại A và C của đường tròn O cắt nhau tại D , BD cắt (O) tại E .Vẽ dây cung EF//AD , vẽ CH vuông góc với AB tại H

1) Chứng minh : AE=AF và BE=BF

2) ADCO là tứ giác nội tiếp

3) DC2=DE.DB

4) AF.CH=AC.EC

5) Gọi I là giao điểm của DH và AE , CI cắt AD tại K . Chứng tỏ : KE là tiếp tuyến của (O)

6) Từ E kẻ đường thẳng song song v ới AB cắt KB tại S , OS cắt AE tại Q . Chứng minh : 3 điểm D, Q, F thẳng hàng

Hình học 9 - Tags: ,