Cách chứng minh 2 đường thẳng vuông góc bằng vectơ

Để chứng minh cho hai đường thẳng vuông góc bằng vectơ, chúng ta chứng minh tích vô hướng của chúng bằng 0.

Tức là: $AB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0$

Xét ví dụ có lời giải dưới đây.

Ứng dụng vectơ chứng minh vuông góc

Bài toán: Trong đường tròn C(O; R) cho hai dây cung AA’, BB’ vuông góc với nhau ở điểm S và gọi M là trung điểm của AB. CMR: SM vuông góc A’B’.

Giải

Xét tích vô hướng

$\displaystyle \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A'B'}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{SB}).(\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SA'})$

$\displaystyle =\frac{1}{2}(\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA'}+\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB'}-\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA'})$

Ta có:

$\displaystyle \begin{array}{l}\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB'}=0\\\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SA'}=0\\\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SA'}=\overrightarrow{SB}.\overrightarrow{SB'}\end{array}$

Từ đó suy ra $\displaystyle \overrightarrow{SM}.\overrightarrow{A'B'}=0$ nên SM vuông góc với A’B.

Bài tập

Bài 1: Gọi $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ , $D$ là trung điểm cạnh $AB$ , $E$ là trọng tâm của $\Delta ACD$ . Chứng minh rằng nếu $AB=AC$ thì $OE\bot CD$ .

Bài 2: Cho $\Delta ABC$ cân tại $A.$ Gọi $D$ là trung điểm cạnh $AB$ , $E$ là trọng tâm $\Delta ADC$ . Chứng minh $IE\bot CD$ . ( $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$ ).