Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ

Lên lớp 10 các em được học các quy tắc về vectơ, và vectơ tỏ ra khá hữu dụng để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

Trong vectơ, 3 điểm A, B, C

thẳng hàng ⇔ \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}, k\inR.

Sử dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Chứng minh: \overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC},

k\inR bằng cách

– Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.

– Xác định vectơ \overrightarrow{AB} và \overrightarrow{AC} thông qua các tổ hợp trung gian.

* Chú ý:

– Cho ba điểm A, B, C

. Điều kiện cần và đủ để A, B, C thẳng hàng là:

– \overrightarrow{MC}=\alpha \overrightarrow{MA}+(1-\alpha )\overrightarrow{MB}

Với điểm M tùy ý và số thực \alpha bất kì.

Đặc biệt khi 0\le \alpha \le 1 thì C thuộc đoạn AB.

Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số \frac{A\text{E}}{AC}=\frac{2}{3}. Chứng minh ba điểm D, E, I  thẳng hàng.

Giải

Ta có:             \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}

\Rightarrow          \overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}                        (1)

\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}

Theo giả thiết, ta suy ra:

\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})

\Rightarrow          \overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{CB})

Từ đây ta có:

\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{C\text{D}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}

\Rightarrow          \overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}

\Rightarrow          \overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB})                         (2)

Từ (1) và (2) suy ra: \overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DI}

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Bài toán 2: Cho \DeltaABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của \DeltaABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

Giải

Ta có:

\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})                                                (1)

Gọi E là trung điểm BC và {{A}_{1}} là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

\left\{ \begin{matrix}BH\parallel C{{A}_{1}}(c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng}\bot AC) \\CH\parallel B{{A}_{1}}(c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng}\bot AB) \\\end{matrix} \right.

\displaystyle \Rightarrow {{A}_{1}}BHC là hình bình hành

\displaystyle \Rightarrow {{A}_{1}}, E, H thẳng hàng \displaystyle \RightarrowD

Ta có:

\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}           (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\displaystyle \overrightarrow{{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{OH}}\Leftrightarrow O,G,H thẳng hàng.

Bài toán 3: Cho ba dây cung song song A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}} của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}} nằm trên một đường thẳng.

                                                         Giải

Gọi {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}} lần lượt là trực tâm của các tam giác AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}

Ta có:

\begin{array}{l}\overrightarrow{O{{H}_{1}}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O{{C}_{1}}}\\\overrightarrow{O{{H}_{2}}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}\\\overrightarrow{O{{H}_{3}}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}\end{array}

Suy ra:

\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}=\overrightarrow{O{{H}_{2}}}-\overrightarrow{O{{H}_{1}}}

\begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}-\overrightarrow{OA}\\=\overrightarrow{{{C}_{1}}C}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}\end{array}

\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}=\overrightarrow{O{{H}_{3}}}-\overrightarrow{O{{H}_{1}}}

\begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}-\overrightarrow{OB}\\=\overrightarrow{{{C}_{1}}C}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}\end{array}

Vì các dây cung A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}} song song với nhau

Nên ba vectơ \overrightarrow{A{{A}_{1}}},\overrightarrow{B{{B}_{1}}},\overrightarrow{C{{C}_{1}}} có cùng phương

Do đó hai vectơ \overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}} cùng phương hay ba điểm {{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}} thẳng hàng.

Bài tập

Bài 1: Cho \DeltaABC. Đường tròn nội tiếp \DeltaABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.

Bài 2: Cho \DeltaABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng {{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}},{{\Delta }_{3}} đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là {{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}. Chứng minh trực tâm của ba tam giác AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}} thẳng hàng.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.

Bài 4: Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.

Hình học 10 - Tags: ,