Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ

Lên lớp 10 các em được học các quy tắc về vectơ, và vectơ tỏ ra khá hữu dụng để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Ba điểm thẳng hàng là 3 điểm cùng nằm trên một đường thẳng.

Trong vectơ, 3 điểm $A, B, C$

thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC},$

k $\in$

Sử dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Chứng minh: $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC},$

k $\in$

R bằng cách

– Sử dụng các quy tắc biến đổi vectơ đã biết.

– Xác định vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ thông qua các tổ hợp trung gian.

* Chú ý:

– Cho ba điểm $A, B, C$

. Điều kiện cần và đủ để $A, B, C$

thẳng hàng là:

– $\overrightarrow{MC}=\alpha \overrightarrow{MA}+(1-\alpha )\overrightarrow{MB}$

Với điểm $M$ tùy ý và số thực $\alpha$ bất kì.

Đặc biệt khi $0\le \alpha \le 1$ thì $C$ thuộc đoạn $AB$ .

Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài toán 1: Cho hình bình hành ABCD, I là trung điểm của cạnh BC và E là điểm thuộc đường chéo AC thỏa mãn tỉ số $\frac{A\text{E}}{AC}=\frac{2}{3}$ . Chứng minh ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Giải

Ta có: $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CI}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{DI}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}$ (1)

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CE}$

Theo giả thiết, ta suy ra:

$\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{CE}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{DA})=\frac{1}{3}(\overrightarrow{C\text{D}}+\overrightarrow{CB})$

Từ đây ta có:

$\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{C\text{D}}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$

$\Rightarrow$ $\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}(\overrightarrow{DC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB})$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{DI}$

Vậy ba điểm D, E, I thẳng hàng.

Bài toán 2: Cho $\Delta$ ABC. Gọi O, G, H theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của $\Delta$ ABC. CMR O, G, H thẳng hàng.

Giải

Ta có:

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$ (1)

Gọi E là trung điểm BC và ${{A}_{1}}$ là điểm đối xứng với A qua O, ta được:

$\left\{ \begin{matrix}BH\parallel C{{A}_{1}}(c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng}\bot AC) \\CH\parallel B{{A}_{1}}(c\text{ }\!\!\grave{\mathrm{u}}\!\!\text{ ng}\bot AB) \\\end{matrix} \right.$

$\displaystyle \Rightarrow {{A}_{1}}BHC$ là hình bình hành

$\displaystyle \Rightarrow {{A}_{1}}$ , E, H thẳng hàng $\displaystyle \Rightarrow$ $D$

Ta có:

$\overrightarrow{OH}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

$\displaystyle \overrightarrow{{OG}}=\frac{1}{3}\overrightarrow{{OH}}\Leftrightarrow O,G,H$ thẳng hàng.

Bài toán 3: Cho ba dây cung song song $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ của đường tròn (O). Chứng minh rằng trực tâm của ba tam giác $AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$ nằm trên một đường thẳng.

Giải

Gọi ${{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}$ lần lượt là trực tâm của các tam giác $AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$

Ta có:

$\begin{array}{l}\overrightarrow{O{{H}_{1}}}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O{{C}_{1}}}\\\overrightarrow{O{{H}_{2}}}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}\\\overrightarrow{O{{H}_{3}}}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}\end{array}$

Suy ra:

$\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}=\overrightarrow{O{{H}_{2}}}-\overrightarrow{O{{H}_{1}}}$

$\begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{A}_{1}}}-\overrightarrow{OA}\\=\overrightarrow{{{C}_{1}}C}+\overrightarrow{A{{A}_{1}}}\end{array}$

$\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}=\overrightarrow{O{{H}_{3}}}-\overrightarrow{O{{H}_{1}}}$

$\begin{array}{l}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{O{{C}_{1}}}+\overrightarrow{O{{B}_{1}}}-\overrightarrow{OB}\\=\overrightarrow{{{C}_{1}}C}+\overrightarrow{B{{B}_{1}}}\end{array}$

Vì các dây cung $A{{A}_{1}},B{{B}_{1}},C{{C}_{1}}$ song song với nhau

Nên ba vectơ $\overrightarrow{A{{A}_{1}}},\overrightarrow{B{{B}_{1}}},\overrightarrow{C{{C}_{1}}}$ có cùng phương

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{2}}}v\text{ }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }\overrightarrow{{{H}_{1}}{{H}_{3}}}$ cùng phương hay ba điểm ${{H}_{1}},{{H}_{2}},{{H}_{3}}$ thẳng hàng.

Bài tập

Bài 1: Cho $\Delta$ ABC. Đường tròn nội tiếp $\Delta$ ABC tiếp xúc với AB, AC theo thứ tự tại M, N. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AC và BC. Tìm điểm P thuộc EF sao cho M, N, P thẳng hàng.

Bài 2: Cho $\Delta$ ABC với O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Các đường thẳng ${{\Delta }_{1}},{{\Delta }_{2}},{{\Delta }_{3}}$ đôi một song song nhau lần lượt qua các điểm A, B, C và có giao điểm thứ hai với đường tròn (O) theo thứ tự là ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ . Chứng minh trực tâm của ba tam giác $AB{{C}_{1}},BC{{A}_{1}},CA{{B}_{1}}$ thẳng hàng.

Bài 3: Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là điểm đối xứng của D qua điểm A, F là điểm đối xứng của tâm O của hình bình hành qua điểm C và K là trung điểm của đoạn OB. Chứng minh ba điểm E, K, F thảng hàng và K là trung điểm của EF.

Bài 4: Cho tam giác ABC và M, N lần lượt là trung điểm AB, AC. Gọi P, Q là trung điểm MN và BC. CMR : A, P , Q thẳng hàng.

Hình học 10 - Tags: thẳng hàng, vecto

Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng bằng vectơ

Lên lớp 10 các em được học các quy tắc về vectơ, và vectơ tỏ ra khá hữu dụng để chứng minh 3 điểm thẳng hàng.

Sử dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Ứng dụng vectơ chứng minh 3 điểm thẳng hàng

Bài tập

Tích vô hướng của hai vectơ

Trục tọa độ, Hệ trục tọa độ vectơ

Hai vectơ cùng phương, bằng nhau, đối nhau

Các phép toán cộng trừ, nhân vectơ

Bài tập chứng minh đẳng thức vectơ lớp 10 có lời giải

Bảng công thức Hình học 10 cần nhớ

Công thức Hình học lớp 10 đầy đủ nhất