Cách tìm ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất

Tìm ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN) như thế nào? Gia sư Tiến Bộ chia sẻ với các em phương pháp.

Trước tiên chúng ta xem lại khái niệm ước là gì? bội là gì?

Ước và bội là gì?

Nếu có số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b thì ta nói a là bội của b còn b được gọi là ước của a.

Cách tìm ước, cách tìm bội

– Để tìm ước của a (a > 1) ta lần lượt chia a cho các số tự nhiên từ 1 đến a để xem xét a chia hết cho những số nào, khi đó các số ấy là ước của a.

Ví dụ: Ư(18) = {18 ; 9 ; 6 ; 3 ; 2; 1}

– Để tìm các bội của một số khác 0 ta nhân số đó với lần lượt 0, 1, 2, 3, …

Ví dụ: B(3) = {0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 ;… }

Ở bài viết này chúng ta học thêm khái niệm về số nguyên tố. Vậy số như nào được gọi là số nguyên tố?

Khái niệm số nguyên tố

Số nguyên tố là số tự nhiên lớn hơn 1, chỉ có hai ước là 1 và chính nó.

Ví dụ: số 3 là số nguyên tố vì Ư(3) = {1 ; 3} , số 5 là số nguyên tố vì Ư(5) = {1 ; 5} , số 7 là số nguyên tố vì Ư(7) = {1 ; 7} , số 11 là số nguyên tố vì Ư(1) = {1 ; 11} , số 13 là số nguyên tố vì Ư(13) = {1 ; 13} ….

Khái niệm ước chung, ước chung lớn nhất

– Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

– Trong các ước chung, số lớn nhất là ước chung lớn nhất. Kí hiệu là ƯCLN.

Ví dụ: Ước chung của 12 và 16 là: 1; 2; 4. Vì 12 và 16 cùng chia hết cho 1; 2; 4.

Cách tìm ước chung lớn nhất

– Bước 1 : Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

– Bước 2 : Chọn ra các thừa số nguyên tố chung.

– Bước 3 : Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất của nó. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ 1: Tìm ƯCLN (20 ; 48)

Ta có:

– Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

20 = 4.5

48 =  3.42

– Bước 2 : Thừa số nguyên tố chung là 4

– Bước 3 : ƯCLN (20 ; 48) = 4

Ví dụ 2: Tìm ƯCLN (30 ; 18)

Ta có:

30 = 2.3.5

18 =  2.32

⇒ ƯCLN (18 ; 30) = 2.3 = 6

Khái niệm bội chung, bội chung nhỏ nhất

– Bội chung của hai hay nhiều số là bội của tất cả các số đó.

– Trong các bội chung, số nhỏ nhất là bội chung nhỏ nhất. Kí hiệu là BCNN.

Ví dụ: Bội chung của 4 và 3 là: 12; 24; 36; 48… Vì những số này chia hết cho cả 4 và 3.

Cách tìm bội chung nhỏ nhất

– Bước 1: Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố.

– Bước 2: Chọn ra các thừa số nguyên tố chung và riêng.

– Bước 3: Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ lớn nhất của nó. Tích đó là BCNN phải tìm.

Ví dụ 1: Tìm BCNN (10 ; 15)

Ta có:

– Bước 1: Phân tích các số ra thừa số nguyên tố.

10 = 2.5

15 =  3.5

– Bước 2 : Thừa số nguyên tố chung là 5, riêng là 2 và 3.

– Bước 3 : BCNN (10 ; 15) = 2.3.5 = 30

Ví dụ 2: Tìm BCNN (28 ; 40)

Ta có:

28 = 22.7

40 =  23.5

⇒ ƯCLN (28 ; 40) = 23.5.7 = 280

Bài tập tìm ƯCLN và tìm BCNN cơ bản và nâng cao

Bài 1: Viết các tập hợp sau.

a) Ư(6) ; Ư(9) ; Ư(12)                             d) B(23) ; B(10) ; B(8)

b) Ư(7) ; Ư(18) ; Ư(10)                           e) B(3) ;  B(12)  ; B(9)

c) Ư(15) ; Ư(16) ; Ư(250)                       g) B(18) ; B(20) ; B(14)

Bài 2: Phân tích các thừa số sau thành tích các thừa số nguyên tố.

a) 27 ; 30 ; 80 ; 20 ; 120 ; 90.                     c) 16 ; 48 ; 98 ; 36 ; 124.

b ) 15 ; 100 ; 112 ; 224 ; 184.                      d) 56 ; 72 ; 45 ; 54 ; 177.

Bài 3: Tìm ƯCLN.

a) ƯCLN ( 10 ; 28)                               e) ƯCLN (24 ; 84 ; 180)

b) ƯCLN (24 ; 36)                                g) ƯCLN (56 ; 140)

c) ƯCLN (16 ; 80 ; 176)                       h) ƯCLC (12 ; 14 ; 8 ; 20)

d) ƯCLN (6 ; 8 ; 18)                             k) ƯCLN ( 7 ; 9 ; 12 ; 21)

Bài 4: Tìm ƯC.

a) ƯC(16 ; 24)                                   e) ƯC(18 ; 77)

b) ƯC(60 ; 90)                                   g) ƯC(18 ; 90)

c) ƯC(24 ; 84)                                   h) ƯC(18 ; 30 ; 42)

d) ƯC(16 ; 60)                                   k) ƯC(26 ; 39 ; 48)

Bài 5: Tìm BCNN của.

a) BCNN( 8 ; 10 ; 20)                             f) BCNN(56 ; 70 ; 126)

b) BCNN(16 ; 24)                                   g) BCNN(28 ; 20 ; 30)

c) BCNN(60 ; 140)                                 h) BCNN(34 ; 32 ; 20)

d) BCNN(8 ; 9 ; 11)                                k) BCNN(42 ; 70 ; 52)

e) BCNN(24 ; 40 ; 162)                          l) BCNN( 9 ; 10 ; 11)

Bài 6: Tìm bội chung (BC) của.

a) BC(13 ; 15)                              e) BC(30 ; 105)

b) BC(10 ; 12 ; 15)                       g) BC( 84 ; 108)

c) BC(7 ; 9 ; 11)                            h) BC(98 ; 72 ; 42)

d) BC(24 ; 40 ; 28)                        k) BC(68 ; 208 ; 100)

Bài 7: Tìm số tự nhiên x lớn nhất, biết rằng:

a) 420 \displaystyle \vdots

x và 700 \displaystyle \vdots x

b) 48 \displaystyle \vdots

x và 60 \displaystyle \vdots x

c) 105 \displaystyle \vdots

x ; 175 \displaystyle \vdots x và 385 \displaystyle \vdots x

d) 46 \displaystyle \vdots

x ; 32 \displaystyle \vdots x và 56 \displaystyle \vdots x

e) 17 \displaystyle \vdots

x ; 21 \displaystyle \vdots x và 51 \displaystyle \vdots x

f) 8 \displaystyle \vdots

x ; 25 \displaystyle \vdots x và 40 \displaystyle \vdots x

g) 12 \displaystyle \vdots

x ; 15 \displaystyle \vdots x và 35 \displaystyle \vdots x

h) 50 \displaystyle \vdots

x; 42 \displaystyle \vdots x và 38 \displaystyle \vdots x

Bài 8: Tìm các số tự nhiên x biết;

a) x \displaystyle \in

B(8) và x \displaystyle \le 30

b) x \displaystyle \in

B(15) và 15 < x \displaystyle \le 90

c) x \displaystyle \in

B(12) và 12 < x < 90

d) x \displaystyle \in

B(5) và x \displaystyle \le 100

e) x \displaystyle \vdots

12 và 50 < x \displaystyle \le 72

f) x \displaystyle \vdots

14 và x < 92

g) x \displaystyle \vdots

9 và x < 40

h) x \displaystyle \vdots

12 và 24 \displaystyle \le x \displaystyle \le 80

Bài 9: Tìm các số tự nhiên x biết.

a) x \displaystyle \in

BC(6 ; 21; 27) và x \displaystyle \le 2000

b) x \displaystyle \in

BC(12 ; 15 ; 20) và x \displaystyle \le 500

c) x \displaystyle \in

BC(5 ; 10 ; 25) và x < 400

d) x \displaystyle \in

BC(3 ; 5 ; 6 ; 9) và 150 \displaystyle \le x \displaystyle \le 250

e) x \displaystyle \in

BC(16 ; 21 ; 25) và x \displaystyle \le 400

f) x \displaystyle \in

BC(5 ; 7 ; 8) và x \displaystyle \le 500

g) x \displaystyle \in

BC(12 ; 5 ; 8) và 60 \displaystyle \le x \displaystyle \le 240

h) x \displaystyle \in

BC(3 ; 4 ; 5; 10) và x <200

k) x \displaystyle \in

BC(7 ; 14 ; 21) và x \displaystyle \le 210

Bài 10: Tìm số tự nhiên x, biết.

a) (x – 1) \displaystyle \in

BC(4 ; 5 ; 6) và x < 400

b) (x – 1) \displaystyle \in

BC(4 ; 5 ;6) và x \displaystyle \vdots 7 và x < 400

c) (x + 1) \displaystyle \in

BC(6 ; 20 ; 15) và x \displaystyle \le 300

d) (x + 2) \displaystyle \in

BC( 8 : 16 : 24) và x \displaystyle \le 250

 Bài 11: Tìm x \displaystyle \in

N biết.

a) x \displaystyle \vdots

39 ; x \displaystyle \vdots 65 ; x \displaystyle \vdots 91 và 400 < x < 2600

b) x \displaystyle \vdots

12 ; x \displaystyle \vdots 21 ; x \displaystyle \vdots 28 và x < 500

Bài 12: Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho : 13 ; 15 ; 61 chia x đều dư 1.

Bài 13: Tìm số tự nhiên x lớn nhất sao cho 44 ; 86 ; 65 chia x đều dư 2.

Bài 14: Tìm số tự nhiên x, biết 167 chia x dư 17 ; 235 chia x dư 25.

Bài 15: Tìm số tự nhiên x biết khi chia 268 cho x thì dư 18 ; 390 chia x dư 40.

Bài 16: Tìm số tự nhiên x lớn nhất thỏa mãn : 27 chia x dư 3 ; 38 chia x dư 2 và 49 chia x dư 1.

Bài 17: Tìm số tự nhiên x nhỏ nhất biết khi chia x cho các số 5 ; 7 ; 11 thì được các số dư lần lượt là 3 ; 4 ; 6.

Bài 18: Học sinh của lớp 6A khi xếp thành hàng 2, hàng 3, hàng 4 hoặc hàng 8 đều vừa đủ. Biết số học sinh của lớp 6A từ 38 đến 60 em. Tính số học sinh lớp 6A.

Đ/S : 48 học sinh

Bài 19: Số học sinh của lớp 6A từ 40 đến 50 em. Khi xếp thành hàng 3 hoặc 5 đều dư 2 em. Tính số học sinh lớp 6A.

Đ/S :47 học sinh

Bài 20: Học sinh khối 6 của một trường có từ 200 đến 300 em. Nếu xếp thành hàng 4, hàng 5 hoặc hàng 7 đều dư 1 em. Tìm số học sinh khối 6 của trường đó.

Đ/S : 281 học sinh.

Bài 21: Có 96 cái bánh và 84 cái kẹo được chia đều vào mỗi đĩa. Hỏi có thể chia được nhiều nhất thành bao nhiêu đĩa. Khi ấy mỗi đĩa có bao nhiêu cái bánh, bao nhiêu cái kẹo?

Đ/S :

Bài 22: Một lớp 6 có 24 nữ và 20 nam được chia thành tổ để số nam và số nữ được chia đều vào tổ. Hỏi chia được nhiều nhất bao nhiêu tổ? Khi ấy tính số nam và số nữ mỗi tổ.

Đ/S : 4 tổ. Mỗi tổ có 6 nữ và 5 nam.

Bài 23: Có 60 quyển vở và 42 bút bi được chia thành từng phần. Hỏi có thể chia nhiều nhất được bao nhiêu phần để số vở và số bút bi được chia đều vào mỗi phần? Khi ấy mỗi phần có bao nhiêu vở và bao nhiêu bút bi?

Đ/S : 6 phần. Mỗi phần có 10 vở và 7 bút.

Bài 24: Một hình chữ nhật có chiều dài 105 và chiều rộng 75m được chia thành các hình vuông có diện tích bằng nhau. Tính độ dài cạnh hình vuông lớn nhât trong các cách chia trên.

Đ/S : 15m

Bài 25: Đội A và đội B cùng phải trồng một số cây bằng nhau. Biết mỗi người đội A phải trồng 8 cây, mỗi người đội B phải trồng 9 cây và số cây mỗi đội phải trồng khoảng từ 100 đến 200 cây. Tìm số cây mà mỗi đôi phải trồng.

Đ/S : 144 cây

Bài 26: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 112m và chiều rộng 40m. Người ta muốn chia mảnh đất thành những ô vuông bằng nhau để trồng các loại rau. Hỏi với cách chia nào thì cạnh ô vuông là lớn nhất và bằng bao nhiêu?

Đ/S : 8m

Bài 27: Có 133 quyển vở, 80 bút bi, 177 tập giấy. Người ta chia vở, bút bi, giấy thành các phần thưởng bằng nhau, mỗi phần thưởng gồm cả ba loại. Nhưng sau khi chia xong còn thừa 13 quyển vở, 8 bút và 2 tập giấy không đủ chia vào các phần thưởng khác. Tính xem có bao nhiêu phần thưởng.

Đ/S : 3 phần thưởng

Bài 28: Một đơn vị bộ đội khi xếp thành mỗi hàng 20 người, 25 người hoặc 30 người đều thừa 15 người. Nếu xếp thành hàng 41 người thì vừa đủ (không có hàng nào thiếu, không có ai ở ngoài). Hỏi đơn vị đó có bao nhiêu người, biết rằng số người của đơn vị chưa đến 1000 người.

Đ/S : 615 người.

Bài 29: Số học sinh khối 6 của một trường khoảng từ 300 đến 400 học sinh. Mỗi lần xếp hàng 12, hàng 15, hàng 18 đều vừa đủ không thừa ai. Hỏi trường đó khối 6 có bao nhiêu học sinh.

Đ/S : 360 học sinh.

Bài 30: Cô giáo chủ nhiệm muốn chia 128 quyển vở, 48 bút chì và 192 tập giấy thành một số phần thưởng như nhau để trao trong dịp sơ kết học kì một. Hỏi có thể chia được nhiều nhất bao nhiêu phần thưởng, khi đó mỗi phần thưởng có bao nhiêu quyển vở, bao nhiêu bút chì, bao nhiêu tập giấy.

Đ/S : 16 phần. 8 quyển vờ, 3 bút chì, 12 tập giấy.

Bài 31: Tìm các giá trị nguyên của x để. (toán nâng cao chuyên đề này).

a) 1 \displaystyle \vdots

(x + 7)                         e) (2x – 9) \displaystyle \vdots (x – 5)

b) 4 \displaystyle \vdots

(x – 5)                          g) (x2 – x – 1) \displaystyle \vdots (x – 1)

c) (x +8) \displaystyle \vdots

(x + 7)                  h) (x2 – 3x – 5) \displaystyle \vdots (x – 3)

d) (2x + 16) \displaystyle \vdots

(x + 7)             k) (5x + 2) \displaystyle \vdots (x + 1)

d) (x – 4) \displaystyle \vdots

(x – 5)                   l) (2x2 + 3x + 2) \displaystyle \vdots (x + 1)

Bài 32: với x \displaystyle \in

Z, chứng minh rằng.

a) [x(x + 1) + 1] không chia hết cho 2

b) (x2 + x + 1) không chia hết cho 2

c) [3.(x2 + 2x) + 1] không chia hết cho 3

d) (3x2 + 6x + 1) không chia hết cho 3.

Số học 6 - Tags: , , , , , , , ,