Cách xét dấu của tam thức bậc 2

Trong chương trình Đại số 10 có khái niệm về tam thức bậc 2. Vậy cách xét dấu của tam thức bậc 2 như thế nào?

Chúng ta cùng ôn lại lý thuyết và làm các ví dụ để hiểu hơn về cách xét dấu tam thức bậc hai nhé.

Định nghĩa

Tam thức bậc hai đối với x là biểu thức có dạng $\displaystyle f(x)=a{{x}^{2}} +bx +c$
, trong đó $a, b, c$ là những hệ số, $a ≠ 0$ .

Ví dụ:

$\displaystyle f(x)={{x}^{2}}-4x+5$ là tam thức bậc hai

$\displaystyle f(x) = {{x}^{2}}(2x-3)$ không phải là tam thức bậc hai.

Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Cho $\displaystyle f(x)=a{{x}^{2}} +bx +c$

, $Δ = {b^2} - 4ac$ .

– Nếu $Δ<0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ với mọi x ∈ R.

– Nếu $Δ=0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ trừ khi $\displaystyle x\text{ }=-\frac{b}{{2\text{a}}}$ .

– Nếu $Δ>0$ thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số $a$ khi $x<{{x}_{1}}$ hoặc $x>{{x}_{2}}$ ; trái dấu với hệ số $a$ khi ${{x}_{1}}<x<{{x}_{2}}$ trong đó ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$ (với ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ là hai nghiệm của $f(x)$ .

*Mẹo nhớ dấu của tam thức khi có 2 nghiệm: Trong trái ngoài cùng

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Bước 1: Tìm nghiệm của tam thức

– Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số $a$

– Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận

Bài tập

Xét dấu của các tam thức bậc hai dưới đây

a) $\displaystyle 5{{x}^{2}}~-\text{ }3x\text{ }+1$

b) $\displaystyle -2{{x}^{2}}~+3x+5$

c) $\displaystyle {{x}^{2}}~+12x+36$

d) $\displaystyle \left( {2x-3} \right)\left( {x+5} \right)$

Lời giải:

a) $\displaystyle 5{{x}^{2}}~-\text{ }3x\text{ }+1$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)=5{{x}^{2}}~-3x\text{ +}1$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=920=11<0$ nên $f(x)$ cùng dấu với hệ số $a$ .

– Mà $a = 5 > 0$ ⇒ $f(x) > 0$ với ∀ $x ∈ R$ .

b) $\displaystyle -2{{x}^{2}}~+3x+5$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)=-2{{x}^{2}}~+3x\text{+}5$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=9+40=49>0$ .

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}=1;\text{ }{{x}_{2}}~=\frac{5}{2}$ , hệ số $a = -2 < 0$ .

– Ta có bảng xét dấu:

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

$f(x) > 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {1;\frac{5}{2}} \right)$ – Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) = 0$ khi $\displaystyle x=1\text{ };\text{ }x=\frac{5}{2}$

$f(x) < 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {\infty ;1} \right)\text{ }\cup \text{ }\left( {\frac{5}{2}; \infty } \right)$

c) $\displaystyle {{x}^{2}}~+12x+36$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)={{x}^{2}}~+12x+36$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=~144~-144=~0$ .

– Tam thức có nghiệm kép $x = -6$ , hệ số $a = 1 > 0$ .

– Ta có bảng xét dấu:

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) > 0$ với $∀x ≠ -6$

$f(x) = 0$ khi $x = -6$

d) $\displaystyle \left( {2x-3} \right)\left( {x+5} \right)$

– Xét tam thức $\displaystyle f\left( x \right)=\left( {2x-3} \right)\left( {x+5} \right)=2{{x}^{2}}~-7x+15$

– Ta có: $\displaystyle \Delta ={{b}^{2}}-4ac=49~+120=169>0$

– Tam thức có hai nghiệm phân biệt $\displaystyle {{x}_{1}}~=\frac{3}{2};\text{ }{{x}_{2}}~=5$ , hệ số $a = 2 > 0$ .

– Ta có bảng xét dấu:

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

– Từ bảng xét dấu ta có:

$f(x) > 0$ khi $\displaystyle x\text{ }\in \text{ }\left( {\infty ;\text{ }5} \right)\text{ }\cup \text{ }\left( {3/2;\text{ } \infty } \right)$

$f(x) = 0$ khi $\displaystyle x=5\text{ };\text{ }x=\frac{3}{2}$

$f(x) < 0$ khi $\displaystyle x\in \left( {5;\frac{3}{2}} \right)$

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

Trong chương trình Đại số 10 có khái niệm về tam thức bậc 2. Vậy cách xét dấu của tam thức bậc 2 như thế nào?

Định nghĩa

Định lý về dấu của tam thức bậc 2

Cách xét dấu của tam thức bậc 2

Bài tập

Chuyên đề: Tam thức bậc hai – Toán lớp 10

Cách so sánh nghiệm của tam thức bậc 2 với các số α, β

Tóm tắt kiến thức Toán lớp 10: Đại số 10 và Hình học 10