Căn bậc hai, căn bậc ba, căn bậc n – Đại số 9

Các khái niệm, định nghĩa, định lý, tính chất của căn bậc hai, căn bậc ba trong chương 1 – Đại số 9, Toán lớp 9.

Kiến thức cần nhớ.

1. Khái niệm căn bậc 2

Căn bậc hai của một số không âm a là số $x$
sao cho $x^2 = a$ . Số dương $a$ có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau.

Với số dương $a$

, số $\displaystyle \sqrt{a}$ được gọi là căn bậc hai số học của $a$

Số $\text{[math]}$ cũng được gọi là căn bậc hai số học của $\text{[math]}$ .

Chú ý. Với $a \ge 0$ , ta có:

Nếu $\displaystyle x = \sqrt{a}$ thì $x \ge 0$ và $\displaystyle x_{{}}^{2} = a$ ;

Nếu $x \ge 0$ và $\displaystyle x_{{}}^{2} = a$ thì $\displaystyle x = \sqrt{a}$ .

Ta viết:

$\displaystyle x = \sqrt{a}$ ⇔ $x \ge 0$ và $\displaystyle x_{{}}^{2} = a$

2. Cách so sánh căn bậc hai

Ta đã biết:

Với hai số $a$

và $b$ không âm, nếu $a < b$ thì $\displaystyle \sqrt{a}$ < $\displaystyle \sqrt{b}$ .

Ta có thể chứng minh được:

Với hai số $a$

và $b$ không âm, nếu $\displaystyle \sqrt{a}$ < $\displaystyle \sqrt{b}$ thì a < b.

Như vậy ta có định lí sau đây.

3. Định lí căn bậc hai

Với hai số $a$

và $b$ không âm, ta có:

$a < b$ ⇔ $\displaystyle \sqrt{a}$ < $\displaystyle \sqrt{b}$ .

4. Khái niệm căn bậc 3

Căn bậc ba của một số $a$
là số $x$ sao cho $x^3 = a$ .

Căn bậc ba của số a được kí hiệu là $\displaystyle \sqrt[3]{a}$

Như vậy $\displaystyle \left( \sqrt[3]{a} \right)_{{}}^{3}=a$

Mọi số thực đều có căn thức bậc ba.

5. Tính chất của căn bậc ba

Cách so sánh căn bậc 3:

a) Nếu $a < b$ thì $\displaystyle \sqrt[3]{a}<\sqrt[3]{b}$

b) $\displaystyle \sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a}.\sqrt[3]{b}$

c) Với $b ≠ 0$ thì $\displaystyle \sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}$

6. Căn thức bậc n

Cho số $\displaystyle a\in R,n\in N;n\ge 2$ . Căn bậc $\displaystyle n$ của một số $\displaystyle a$ là một số mà lũy thừa bậc $\displaystyle n$ của nó bằng a.

– Trường hợp $\displaystyle n$ là số lẻ: $\displaystyle n=2k+1,k\in N$

Mọi số thực $\displaystyle a$ đều có một căn bậc lẻ duy nhất:

$\displaystyle \sqrt[{2k+1}]{a}=x\Leftrightarrow {{x}^{{2k+1}}}=a$ , nếu $\displaystyle \displaystyle a>0$ thì $\displaystyle \sqrt[{2k+1}]{a}>0$ , nếu $\displaystyle \displaystyle a<0$ thì $\displaystyle \sqrt[{2k+1}]{a}<0$ , nếu $\displaystyle \displaystyle a=0$ thì $\displaystyle \sqrt[{2k+1}]{a}=0$

– Trường hợp $\displaystyle n$ là số chẵn: $\displaystyle n=2k,k\in N$ .

Mọi số thực $\displaystyle a>0$ đều có hai căn bậc chẵn đối nhau.

+ Căn bậc chẵn dương kí hiệu là $\displaystyle \sqrt[{2k}]{a}$ (gọi là căn bậc $\displaystyle 2k$ số học của $\displaystyle a$ ).

+ Căn bậc chẵn âm kí hiệu là $\displaystyle -\sqrt[{2k}]{a}$ , $\displaystyle \sqrt[{2k}]{a}=x\Leftrightarrow x\ge 0$ và $\displaystyle {{x}^{{2k}}}=a$ ; $\displaystyle -\sqrt[{2k}]{a}=x\Leftrightarrow x\le 0$ và $\displaystyle {{x}^{{2k}}}=a$ .