Khái niệm, tính chất cơ bản, rút gọn phân số

1. Khái niệm phân số

Người ta gọi \displaystyle \frac{a}{b}

với a, b ∈ Z và b ≠ 0 là một phân số, a là tử số (tử), b là mẫu số (mẫu) của phân số.

– Số nguyên a được coi là phân số với mẫu số là \displaystyle 1: a = \frac{a}{1}

2. Hai phân số bằng nhau

Hai phân số \displaystyle \frac{a}{b}

và \displaystyle \frac{c}{d} gọi là bằng nhau nếu a. d = b . c

3. Tính chất cơ bản của phân số

Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được một phân số bằng phân số đã cho.

4. Rút gọn phân số

– Muốn rút gọn một phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số cho một ước chung (khác 1 và -1) của chúng.

– Phân số tối giản (hay phân số không rút gọn được nữa) là phân số mà cả tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1. Để rút gọn một lần mà được kết quả là phân số tối giản, chỉ cần chia tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng.

– Để rút gọn một phân số có thể phân tích tử và mẫu thành tích các thừa số.

5. Các bước quy đồng mẫu số nhiều phân số với mẫu số dương

– Bước 1:  Tìm một bội chung của các mẫu (thường là BCNN) để làm mẫu chung.

– Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu (bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu).

– Bước 3: Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng.

6. So sánh hai phân số

– Trong hai phân số có cùng một mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn.

– Muốn  so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau: phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hon.

– Nhận xét:

+ Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên cùng dấu thì lớn hơn 0, gọi là phân số dương.

+ Phân số có tử và mẫu là hai số nguyên khác dấu thì nhỏ hơn 0, gọi là phân số âm.

– Ta còn có các cách so sánh phân số như sau:

+ Áp dụng tính chất:

+ Đưa về hai phân số cùng tử rồi so sánh mẫu. VD: \displaystyle \frac{4}{9}<\frac{4}{7}\text{ hay }\frac{{-4}}{9}>\frac{{-4}}{7}

+ Chọn số thứ ba làm trung gian. VD: \displaystyle \frac{{-4}}{9}<0<\frac{4}{7}\text{ hay }\frac{{14}}{9}>1>\frac{4}{7}

7. Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân số

 

Phép tính

 

Tính chất

Phép cộng:

\displaystyle \frac{a}{m}+\frac{b}{m}=\frac{{a+b}}{m}

(nếu không cùng mẫu thì quy đồng mẫu trước khi cộng)

Phép nhân:

\displaystyle \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{{a.c}}{{b.d}}

Giao hoán\displaystyle \frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{c}{d}+\frac{a}{b}\displaystyle \frac{a}{b}.\frac{c}{d}=\frac{c}{d}.\frac{a}{b}
Kết hợp\displaystyle \left( {\frac{a}{b}+\frac{c}{d}} \right)+\frac{p}{q}=\frac{a}{b}+\left( {\frac{c}{d}+\frac{p}{q}} \right)\displaystyle \left( {\frac{a}{b}.\frac{c}{d}} \right).\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.\left( {\frac{c}{d}.\frac{p}{q}} \right)
Cộng với số 0\displaystyle \frac{a}{b}+0=0+\frac{a}{b}=\frac{a}{b}
Nhân với số 1\displaystyle \frac{a}{b}.1=1.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}
Số đối\displaystyle \frac{a}{b}+\left( {-\frac{a}{b}} \right)=0
Số nghịch đảo\displaystyle \frac{a}{b}.\frac{b}{a}=1
Phân phối của phép nhân đối với phép cộng\displaystyle \left( {\frac{a}{b}+\frac{c}{d}} \right).\frac{p}{q}=\frac{a}{b}.\frac{p}{q}+\frac{c}{d}.\frac{p}{q}
Các phép tính ngượcPhép trừ:    \displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left( {-\frac{c}{d}} \right)Phép chia:     \displaystyle \frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}.\frac{d}{c}

8. Hỗn số, số thập phân, phần trăm

– Một phân số lớn hơn 1 có thể viết dưới dạng hỗn số. Hỗn số có thể viết dưới dạng phân số.

+ Khi viết một phân số âm dưới dạng hỗn số, ta chỉ cần viết số đối của nó dưới dạng hỗn số rồi đặt dấu “-” trước kết quả nhận được.

– Phân số thập phân là phân số mà mẫu là lũy thừa của 10.

– Các phân số thập phân có thể viết được dưới dạng số thập phân.

Số thập phân gồm hai phần:

+ Phần số nguyên viết bên trái dấu phẩy.

+ Phần thập phân viết bên phải dấu phẩy.

Số chữ số của phần thập phân đúng bằng số chữ số 0 ở mẫu của phân số thập phân.

– Những phân số có mẫu số là 100 còn được viết dưới dạng phần trăm với kí hiệu %.

9. Ba bài toán cơ bản về phân số

– Bài toán 1: Tìm giá trị phân số của một số cho trước:

Muốn tìm \displaystyle \frac{m}{n} của số b cho trước, ta tính b. \displaystyle \frac{m}{n}  (m, n ∈ Z, n ≠ 0)

– Bài toán 2: Tìm một số biết giá trị một phân số của nó:

Muốn tìm một số biết \displaystyle \frac{m}{n} của nó bằng a, ta tính a : \displaystyle \frac{m}{n} (m, n ∈ N*).

– Bài toán 3: Tìm tỉ số của hai số:

Tỉ số của hai số a và b là thương trong phép chia số a cho số b (b  ≠ 0)

+ Tỉ số của a và b kí hiệu là a : b hoặc \displaystyle \frac{a}{b}

+ Khái niệm tỉ số thường được dùng khi nói về thương của hai đại lượng (cùng loại và cùng đơn vị đo)

+ Tỉ số không có đơn vị

* Tỉ số phần trăm: Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b, ta nhân a với 100 rồi chia cho b và viết kí hiệu % vào kết quả: \displaystyle \frac{{a.100}}{b}\%.

* Tỉ lệ xích: Tỉ lệ xích T của một bản vẽ (hoặc một bản đồ) là tỉ số khoảng cách a giữa hai điểm trên bản vẽ (hoặc bản đồ) và khoảng cách b giữa hai điểm tương ứng trên thực tế.

T = \displaystyle \frac{a}{b}

  (a, b có cùng đơn vị đo).

* Khi giải các bài toán cơ bản về phân số, ở một số bài toán đôi khi ta còn dùng phương pháp tính ngược từ cuối.

Số học 6 - Tags: ,