Phương pháp giải các dạng toán phân số lớp 6

Bài này viết về các dạng toán phân số trong chương trình Toán lớp 6 với phương pháp giải từng dạng, từ đó áp dụng vào làm bài tập.

Các dạng toán về phân số lớp 6 bao gồm 17 bài, mỗi bài có các dạng bài tập khác nhau.

Bài 1: Mở rộng khái niệm phân số

Dạng 1:  Biểu diễn phân số của một hình cho trước

Phương pháp giải

Cần nắm vững ý nghĩa của tử và mẫu của phân số \displaystyle \frac{a}{b}

 với a,b ∈ Z, a >0, b>0

– Mẫu b cho biết số phần bằng nhau mà hình được chia ra ;

– Tử a cho biết số phần bằng nhau đã lấy.

Dạng 2:  Viết các phân số

Phương pháp giải :

– “a phần b” , a:b được viết thành \displaystyle \frac{a}{b}

.

– Chú ý rằng trong cách viết , b phải khác 0.

Dạng 3: Tính giá trị của phân số

Phương pháp giải :

Để tính giá trị của một phân số, ta tính thương của phép chia tử cho mẫu. Khi chia số nguyên a cho số nguyên b (b ≠ 0)  ta chia |a| cho |b| rồi đặt dấu như trong quy tắc nhân hai số nguyên.

Dạng 4: Biểu thị các số đo theo đơn vị này dưới dạng phân số theo đơn vị khác.

Phương pháp giải :

Để giải dạng toán này, cần nắm vững bảng đơn vị đo lường : đo độ dài, đo khối lượng, đo diện tích, đo thời gian.

Chẳng hạn : 1dm = \displaystyle \frac{1}{10}

 m ; 1g = \displaystyle \frac{1}{1000} kg ;  1cm = \displaystyle \frac{1}{100} m ;

1dm3 = \displaystyle \frac{1}{1000}

m3 ;  1s = \displaystyle \frac{1}{3600}h  ; …

Dạng 5: Tìm điều kiện để phân số tồn tại điều kiện để phân số có giá trị là số nguyên

Phương pháp giải :

– Phân số tồn tại khi tử và mẫu là các số nguyên và mẫu khác 0.

– Phân số có giá trị là số nguyên khi mẫu là ươc của tử.

Bài 2: Phân số bằng nhau

Dạng 1: Nhận biết các cặp phân số bằng nhau, không bằng nhau

Phương pháp giải :

– Nếu a.d = b.c thì  \displaystyle \frac{a}{b}

= \displaystyle \frac{c}{d};

– Nếu a.d ≠ b.c thi  \displaystyle \frac{a}{b}

≠ \displaystyle \frac{c}{d};

Dạng 2: Tìm số chưa biết trong đẳng thức của hai phân số

Phương pháp giải :

\displaystyle \frac{a}{b}

= \displaystyle \frac{c}{d} nên a.d = b.c (Định nghĩa hai phân số bằng nhau).

Suy ra : a = \displaystyle \frac{b.c}{d} , d = \displaystyle \frac{b.c}{a} , b = \displaystyle \frac{a.d}{c} , c = \displaystyle \frac{a.d}{b} .

Dạng 3: Lập các cặp phân số bằng nhau từ một đẳng thức cho trước

Phương pháp giải :

Từ định nghĩa hai phân số bằng nhau ta có :

a.d = b.c  ⇒ \displaystyle \frac{a}{b}

= \displaystyle \frac{c}{d} ;

a.d = c.b ⇒ \displaystyle \frac{a}{c} = \displaystyle \frac{b}{d} ;

d.a = b.c ⇒ \displaystyle \frac{d}{b} = \displaystyle \frac{c}{a} ;

d.a = c.b ⇒ \displaystyle \frac{d}{c} = \displaystyle \frac{b}{a} ;

Bài 3. Tính chất cơ bản của phân số

Dạng 1:  Áp dụng tính chất cơ bản của phân số để viết các phân số bằng nhau

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất :

\displaystyle \frac{a}{b}

 = \displaystyle \frac{a.m}{b.m} (m ∈ Z, m ≠ 0) ;

\displaystyle \frac{a}{b}

 = \displaystyle \frac{a:m}{b:m} (n ∈ ƯC(a,b)).

Dạng 2: Tìm số chưa biết trong đẳng thức của hai phân số

Phương pháp giải :

Áp dụng tính chất cơ bản của phân số để biến đổi hai phân số đã cho thành hai phân số bằng chúng nhưng có tử (hoặc mẫu) như nhau. Khi đó, mẫu (hoặc mẫu) của chúng phải bằng nhau, từ đó tìm được số chưa biết .

Dạng 3: Giải thích lí do bằng nhau của các phân số

Phương pháp giải :

Để giải thích lí do bằng nhau của các phân số, ta có thể :

– Ap dụng tính chất cơ bản của các phân số để “biến” phân số này thành phân số kia hoặc “biến” cả hai phân số thành một phân số thứ ba.

– Sử dụng định nghĩa phân số bằng nhau (xét tích của tử phân số này với mẫu của phân số kia).

Bài 4: Rút gọn phân số

Dạng 1:  Rút gọn phân số. Rút gọn biểu thức dạng phân số

Phương pháp giải :

– Chia cả tử và mẫu của phân số \displaystyle \frac{a}{b}

 cho ƯCLN của |a| và |b| để rút gọn phân số tối giản.

– Trường hợp biểu thức có dạng phân số, ta cần làm xuất hiện các thừa số chung của tử và mẫu rồi rút gọn các thừa số chung đó.

Dạng 2:  Củng cố khái niệm phân số có kết hợp rút gọn phân số

Phương pháp giải :

Căn cứ vào ý nghĩa của mẫu và tử của phân số (trường hợp mẫu và tử là các số nguyên dương) để giải, chú ý rút gọn khi phân số chưa tối giản.

Dạng 3: Củng cố khái niệm hai phân số bằng nhau

Phương pháp giải :

– Sử dụng định nghĩa hai phân số bằng nhau.

– Sử dụng tính chất cơ bản của phân số; quy tắc rút gọn phân số.

Dạng 4: Tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước

Phương pháp giải :

Để tìm phân số tối giản trong các phân số cho trước, ta tìm ƯCLN của các giá trị tuyệt đối của tử và mẫu đối với từng phân số. Phân số nào có ƯCLN này là 1 thì đó là phân số tối giản.

Ví dụ : Phân số \displaystyle \frac{-5}{7} tối giản vì ƯCLN (|-5| , |7|) = ƯCLN (5,7) =1.

Dạng 5: Viết dạng tổng quát của tất cả các phân số bằng một phân số cho trước

Phương pháp giải :

Ta thực hiện hai bước :

– Rút gọn phân số đã cho đến tối giản, chẳng hạn được phân số tối giản \displaystyle \frac{m}{n} ;

– Dạng tổng quát của các phân số phải tìm là \displaystyle \frac{m.k}{n.k} (k ∈ Z , k ≠ 0).

Dạng 6:  Chứng minh một phân số là tối giản

Phương pháp giải :

Để chứng minh một phân số là tối giản, ta chứng minh ƯCLN của tử và mẫu của nó bằng 1 (trường hợp tử và mẫu là các số nguyên dương; nếu là số ngueyen âm thì ta xét số đối của nó).

Bài 5: Quy đồng mẫu nhiều phân số

Dạng 1: Quy đồng mẫu các phân số cho trước

Phương pháp giải :

Ap dụng quy tắc quy đồng mẫu nhiều phân số với  mẫu dương .

* Chú ý : Trước khi quy đồng cần viết các phân số dưới dạng phân số với mẫu dương. Nên rút gọn các phân số trước khi thực hiện quy tắc .

Dạng 2:  Bài toán đưa về việc quy đồng mẫu nhiều phân số

Phương pháp giải :

Căn cứ vào đặc điểm và yêu cầu của đề bài để đưa bài toán về việc quy đồng mẫu các phân số .

Bài 6: So sánh phân số

Dạng 1: So sánh các phân số cùng mẫu

Phương pháp giải :

– Viết phân số có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương.

-So sánh các tử của các phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn .

Dạng 2:  So sánh các phân số không cùng mẫu

Phương pháp giải :

– Viết phân số có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương

-Quy đồng mẫu các phân số có cùng mẫu dương

-So sánh tử của các phân số đã quy đồng

Bài 7: Phép cộng phân số

Dạng 1: Cộng hai phân số

  Phương pháp giải:

-Ap dụng quy tắc cộng hai phân số cùng mẫu ,quy tác cộng hai phân số không cùng mẫu .

-Nên rút gọn phân số (nếu có phân chưa tối giản ) trước khi cộng .chú ý rút gọn kết quả (nếu có thể ).

Dạng 2: Điền dấu thích hợp( <,>,= ) vào ô vuông

Phương pháp giải:

Thực hiện phép cộng phân số rồi tiến hành so sánh.

Dạng 3: Tìm số chưa biết trong một đẳng thức có chứa phép phép cộng phân số.

  Phương pháp giải :

Thực hiện phép cộng phân số rồi suy ra số phải tìm.

Dạng 4: So sánh phân số  bằng cách sử dụng phép cộng phân số  thích hợp .

  Phương pháp giải :

Trong một số trường hợp để so sánh hai phân số ,ta có thể cộng chúng với hai phân số thích hợp có cùng tử. So sánh hai phân này sẽ giúp ta so sánh được hai phân số đã cho .

Khi so sánh hai phân số cùng tử cần chú ý :

-Trong hai phân số có cùng tử dương , phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số nào nhỏ hơn ;

-Trong hai phân số có cùng tử  âm, phân số nào có tử lớn hơn thì lớn hơn

Bài 8: Tính chất cơ bản của phép cộng phân số

Dạng 1: Áp dụng các tính chất của phép cộng để tính nhanh tổng của nhiều phân số

Phương pháp giải:

Để tính một cách nhanh chóng các cho trước, ta thường căn cứ vào đặc điểm của các số hạng  để áp dụng các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng một cách hợp lí.

Dạng 2: Cộng nhiều phân số

Phương pháp giải:

Nhờ tính chất kết hợp ,ta có thể mở rộng quy tắc cộng hai phân số để cộng từ ba phân số trở lên.

Dạng 3: Rèn luyện kĩ năng cộng hai phân số

    Phương pháp giải :

Các bài tập dạng này được trình bày dưới nhiều hình thức khác nhau song đều đòi hỏi phải kĩ năng cộng phân số  thành thạo ,có khi còn nhẩm để dự đoán số hạng còn thiếu trong phép cộng ,hoặc pháp hiện chỗ sai khi làm tính.

Bài 9: Phép trừ phân số

Dạng 1: Tìm số đối của một số cho trước .

     Phương pháp giải :

Để tìm số đối của một số khác 0 ,ta chỉ cần đổi dấu của nó .

Chú ý:  \displaystyle -\frac{a}{b}=\frac{a}{-b}=\frac{-a}{b} số đối của số 0 là 0.

Dạng 2: Trừ một phân số cho một phân số

Phương pháp giải :

Áp dụng quy tắc thực hiện  phép trừ phân số :\displaystyle \frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left( -\frac{c}{d} \right) .

Dạng 3: Tìm số hạng chưa biết trong một tổng, một hiệu

Phương pháp giải :

Chú ý  quan hệ giữa các số hạng trong một tổng ,một hiệu

– Một số hạng bằng tổng trừ đi số hạng kia ;

– Số bị trừ bằng hiệu cộng với số trừ ;

– Số trừ bằng số bị trừ trừ đi hiệu .

Dạng 4:  Bài toán dẫn đến phép cộng phép trừ phân số

Phương pháp giải :

Căn cứ vào đề bài ,lập các phép cộng, phép trừ phân số thích hợp .

Dạng 5:  Thực hiện một dãy tính cộng và tính trừ phân số

Phương pháp giải :

Thực hiện các bước sau :

-Viết phân số có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương ;

– Thay phép trừ bằng phép cộng với số đối ;

– Quy đồng mẫu các phân số  rồi thực hiện cộng các tử ;

– Rút gọn kết quả.

Tùy theo đặc điểm của các phân số, có thể áp dụng các tính chất của phép cộng phân số để việc tính toán được đơn giản và thuận lợi.

Bài 10: Phép nhân phân số

Dạng 1: Thực hiện phép nhân phân số

    Phương pháp giải :

Ap dụng quy tắc nhân phân số .nên rút gọn (nếu có thể ) trước và sau khi làm tính nhân .

Dạng 2: Viết một phân số dưới dạng tích của hai phân số  thỏa mãn điều kiện cho trước

   Phương pháp giải :

-Viết  các số nguyên ở tử và ở mẫu dưới dạng tích của hai số nguyên ;

– Lập các phân số có tử và mẫu chọn trong các số nguyên đó sao cho  chúng thỏa mãn điều kiện cho trước .

Dạng 3: Tìm số chưa biết trong một đẳng thức có chứa phép nhân phân số .

– Thực hiện phép nhân số

– Vận dụng quan hệ giữa các số hạng với tổng hoặc hiệu trong phép cộng,  phép trừ .

Dạng 4:  So sánh giá trị hai biểu thức

Phương pháp giải:

Thực hiện phép tính ( cộng ,trừ ,nhân phân số )để tính giá trị hai biểu thức rồi so sánh hai kết quả thu được .

Bài 11: Tính chất cơ bản của phép nhân phân số

Dạng 1: Thưc hiện phép nhân phân số

Phương pháp giải :

– Áp dụng quy tắc phép nhân phân số ;

– Vận dụng tính chất cơ bản của phép nhân phân số khi có thể .

* chú ý: \displaystyle \frac{a}{b}.1=\frac{a}{b};\frac{a}{b}.0=0    

Dạng 2:  Tính giá trị biểu thức

Phương pháp giải :

– Chú ý thực hiện các phép tính :

a) Đối với biểu thức không có dấu ngoặc ;

Lũy thừa → nhân → cộng và trừ .

b) Đối với biểu thức có dấu ngoặc :

( ) → [ ] → { }.

– Áp dụng các tính chất cơ bản của phân số khi có thể .

Dạng 3: Bài toán dẫn đến phép nhân phân số

 Phương pháp giải :

Căn cứ vào đề bài, lập phép nhân phân số thích hợp .

Bài 12: Phép chia phân số

Dạng 1:  Tìm số nghịch đảo của một số cho trước

Phương pháp giải:

– Viết số cho trước dưới dạng \displaystyle \frac{a}{b}

 ( a,b ∈ Z, a ≠ 0, b ≠ 0 ).

– Số nghịch đảo của \displaystyle \frac{a}{b}

 là \displaystyle \frac{b}{a}.

– Số 0 không có số nghịch đảo .

-Số nghịch đảo của số nguyên a (a ≠ 0) là \displaystyle \frac{1}{a} .

Dạng 2:  Thực hiện phép chia phân số

Phương pháp giải:

-Ap dụng quy tắc chia một phân số hay một số nguyên cho một phân số

-Khi chia một phân số cho một số nguyên ( khác 0), ta giử nguyên tử số của phân số và nhân mẫu với số nguyên .

Dạng 3:  Viết một phân số dưới dạng thương của hai phân số thỏa mãn điện kiện cho trước

Phương pháp giải:

– Viết các số nguyên ở tử và mẫu dưới dạng tích của hai số nguyên.

– Lập các phân số có tử và mẫu chọn trong các số nguyên đó sao cho chúng thỏa mãn điều kiện cho trước ;

– Chuyển phép nhân phân số thành phép chia cho số nghịch đảo.

Dạng 4: Tìm số chưa biết trong một tích, một thương

Phương pháp giải :

Cần xác định quan hệ giữa các số trong phép nhân, phép chia :

– Muốn tìm một trong hai thừa số, ta lấy tích chia cho thừa số kia;

– Muốn tìm số bị chia, ta lấy thương nhân với số chia ;

– Muốn tìm số chia, ta lấy số bị chia chia cho thương .

Dạng 5:  Bài toán dẫn đến phép chia phân số

Phương pháp giải :

Căn cứ vào đề bài, ta lập phép chia phân số, từ đó hoàn thành lời giải của bài toán.

Dạng 6: Tính giá trị của biểu thức

Phương pháp giải :

Cần chú ý thứ tự thực hiện các phép tính : Lũy thừa rồi đến nhân, chia, cộng, trừ. Nếu có dấu ngoặc, ta thường làm phép tính trong ngoặc trước .

Khi chia một số cho một tích, ta có thể chia số đó cho thừa số thứ nhất rồi lấy kết quả đó chia tiếp cho thừa số thứ hai : a: ( b.c) = (a:b) :c

Bài 13. Hỗn số. Số thập phân. Phần trăm

Dạng 1:  Viết phân số dưới dạng hỗn số và ngược lại

Phương pháp giải :

Ap dụng quy tắc viết phân số dưới dạng hỗn số và quy tắc viết hỗn số dưới dạng phân số .

Dạng 2: Viết các số đã cho dưới dạng phân số thập phân. Số thập phân, phần trăm và ngược lại.

Phương pháp giải :

Khi viết cần lưu ý : Số chữ số của phần thập phân phải đúng bằng số 0 ở mẫu của phân số thập phân.

Dạng 3:  Cộng, trừ hỗn số

Phương pháp giải :

-Khi cộng hai hỗn số ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép cộng phân số. Ta có thể cộng phần nguyên với nhau, cộng phần phân số với nhau (khi hai hỗn số đều dương).

Ví dụ: 2\displaystyle \frac{1}{2}+3\displaystyle \frac{1}{4}= (2+3) + (\displaystyle \frac{1}{2} + \displaystyle \frac{1}{4}) =5 + \displaystyle \frac{3}{4}=5\displaystyle \frac{3}{4}

– Khi trừ hai hỗn số, ta có thể viết chúng dưới dạng phân số rồi thực hiện phép trừ phân số. Ta cũng có thể lấy phần nguyên của số bị trừ trừ phần nguyên của số trừ, phần phân số của số bị trừ trừ phân phân số của số trừ, rồi cộng kết quả với nhau (khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ)

Ví dụ : 3\displaystyle \frac{1}{2} – 2\displaystyle \frac{1}{4}= (3-2) +(\displaystyle \frac{1}{2} – \displaystyle \frac{1}{4}) = 1 + \displaystyle \frac{1}{4} = 1\displaystyle \frac{1}{4}

-Khi hai hỗn số đều dương, số bị trừ lớn hơn hoặc bằng số trừ nhưng phân phân số của số bị trừ nhỏ hơn phần phân số của số trừ, ta phải rúi một đơn vị ở phần nguyêncủa số bị trừ để thêm vào phần phân số, sau đó tiếp tục trừ như trên

Ví dụ : 8\displaystyle \frac{1}{5} – 3\displaystyle \frac{1}{2}= 8\displaystyle \frac{2}{10} – 3\displaystyle \frac{5}{10} = 7\displaystyle \frac{12}{10} – 3\displaystyle \frac{5}{10} = 4\displaystyle \frac{7}{10}

Dạng 4 : Nhân, chia hỗn số

Phương pháp giải

-Thực hiện phép cộng hoặc phép trừ hỗn số bằng cách viết hỗn số dưới dạng phân số rồi làm phép cộng hoặc phép chia phân số.

-Khi nhân hoặc chia một hỗn số với một số nguyên, ta có thể viết hỗn số dưới dạng một tổng của một số nguyên và một phân số.

Ví dụ : 2\displaystyle \frac{1}{3}.2 = (2+\displaystyle \frac{1}{3}).2 = 2.2 +\displaystyle \frac{1}{3}.2 =  4+\displaystyle \frac{2}{3}= 4\displaystyle \frac{1}{3}

6\displaystyle \frac{2}{5}: 2 = (6+\displaystyle \frac{2}{5}) : 2= 6: 2+\displaystyle \frac{2}{5}:2 = 3+ \displaystyle \frac{1}{5} = 3\displaystyle \frac{1}{5}

Dạng 5: Tính giá trị  của biểu thức số

Phương pháp giải

Để tính giá trị của biểu thức số ta cần ch ý:

– Thứ tự thực hiện các phép tính.

– Căn cứ vào đặc điẻm của các biểu thức có thể áp dụng tính chất các phép tính và quy tắc dấu ngoặc.

Dạng 6:  Các phép tính về số thập phân

Phương pháp giải

– Số thập phân có thể viết dưới dạng phân số và ngược phân số cũng viết dược dưới dạng số thập phân.

– Các phép tính về số thập phân cũng có các tính chất như phép tính về phân số.

Bài 14: Tìm gi trị phân số của một số cho trước

Dạng 1: Tìm giá trị phân số của một số cho trước

Phương pháp giải

Để tìm gi trị phân số của một số cho trước, ta nhân số cho trước với phân số đó

“Phân số” có thể được viết dưới dạng hỗn số, số thập phân, số phần trăm

\displaystyle \frac{m}{n}  của số b là :       b.\displaystyle \frac{m}{n} ( m, n ∈ N, n ≠ 0);

Dạng 2: Bài toán dẫn đến tìm gi trị phân số của một só cho trước

Phương pháp giải

Căn cứ vào nội dung cụ thể của từng bài, ta phải tìm gi trị phân số của một số cho trước trong bài, từ đó hoàn chỉnh lời giải của bài toán.

Bài 15: Tìm một số biết giá trị một phân số của nó

Dạng 1: Tìm một số biết giá trị một phân số của nó.

Phương pháp giải

Muốn tìm một số biết giá trị một phân số của nó, ta chia giá trị này cho phân số

\displaystyle \frac{m}{n} của số x bằng a, thì x = a : \displaystyle \frac{m}{n}  (m, n ∈ N* ).

Dạng 2:  Bài toán dẫn đến tìm một số biết giá trị một phân số của nó

Phương pháp giải

Căn cứ vào đề bài, ta chuyển bài toán về tìm một số biết giá trị một phân số của nó, từ đó tìm được lời giải bài toán đ cho.

Dạng 4:  Tìm số chưa biết trong một tổng, một hiệu.

Phương pháp giải

Căn cứ vào quan hệ giữa số chưa biết và các số đã biết trong phép cộng, phép trừ để tìm số chưa biết.

Bài 16: Tìm tỉ số của hai số

Dạng 1:  Các bài tập có liên quan đến tỉ số của hai số

Phương pháp giải

Để tìm tỉ số của hai số a và b, ta tính thương a:b

Nếu a và b là các số đo thì chng phải được đo bằng cùng một dơn vị.

Dạng 2: Các bài tập liên quan đến tỉ số phần trăm

Phương pháp giải

Có ba bài toán cơ bản về tỉ số phần trăm:

  1. Tìm p% của số a: x = \displaystyle \frac{p}{100}. a = \displaystyle \frac{a.p}{100}
  2. Tìm một số biết p% của nó là a: x = a: \displaystyle \frac{p}{100} = \displaystyle \frac{a.100}{p}
  3. Tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b: \displaystyle \frac{a}{b} = \displaystyle \frac{a.100}{b}%

Dạng 3:  Các bài tập có liên quan đến tỉ lệ xích

Phương pháp giải

Có ba bài toán cơ bản về tỉ lệ xích.

Nếu gọi tỉ lệ xích là T, khoảng cách giữa hai điểm trên bản vẽ là a, khoảng cách giữa hai điểm tương ứng trên thực tế là b thì ta có bài toán cơ bản sau:

  1. Tìm T biết a và b: T = \displaystyle \frac{a}{b}
  2. Tìm a biết T và b : a = b.T.
  3. Tìm b biết T và a : b = \displaystyle \frac{a}{T}

* Chú ý: a và b phải cùng đơn vị đo.

Bài 17: Biểu đồ phần trăm

Dạng 1: Dựng biểu đồ phần trăm theo các số liệu cho trước

Phương pháp giải

Căn cứ vào các số liệu phần trăm đã cho, dựng biểu đồ phần trăm theo yêu cầu của đề bài.

Dạng 2: “Đọc” biểu đồ cho trước

Phương pháp giải

Trên cơ sở hiểu ý nghĩa của các biểu đồ, căn cứ vào biểu đồ đ cho m rt ra những thông tin chứa đựng trong biểu đồ đó.

Dạng 3: Tính tỉ số phần trăm của các số cho trước

Phương pháp giải

Số học 6 - Tags: ,