Vẽ thêm yếu tố phụ để giải bài toán liên quan tới đường tròn
Có một số bài toán liên quan tới đường tròn nếu chúng ta vẽ thêm yếu tố phụ để thì việc giải bài toán được dễ dàng hơn.
Những cách vẽ thêm hình thường gặp trong bài toán đường tròn là:
Vẽ đường kính vuông góc với một dây
Khi phải tính độ dài của một dây ta thường vẽ đường kính vuông góc với một dây để vận dụng định lí đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.
Để chứng minh hai dây bằng nhau (hoặc không bằng nhau) ta cũng vẽ các đường kính vuông góc với hai dây đó.
* Chú ý: Vẽ đường kính đi qua trung điểm của dây cũng dẫn tới đường kính vuông góc với dây đó.
Vẽ bán kính đi qua tiếp điểm
Tiếp tuyến của đường tròn thì vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm. Vì vậy trong các bài toán có tiếp tuyến của đường tròn ta thường vẽ bán kính đi qua tiếp điểm, khi đó bán kính này vuông góc với tiếp tuyến.
Vẽ đường tiếp tuyến chung tại tiếp điểm của hai đường tròn tiếp xúc
Khi bài toán có cho hai đường tròn tiếp xúc, nếu cần ta có thể vẽ thêm một tiếp tuyến chung tại tiếp điểm. Điều này giúp ta có thể vận dụng được tính chất giao điểm hai tiếp tuyến của một đường tròn hoặc những tính chất khác sẽ thấy ở chương sau.
Vẽ dây chung của hai đường tròn cắt nhau
Nếu hai đường tròn cắt nhau thì dây chung vuông góc với đường nối tâm và bị đường nối tâm chia đôi. Vì vậy, nếu bài toán cho hai đường tròn cắt nhau ta có thể vẽ thêm dây chung để được hai đường thẳng vuông góc hoặc hai đoạn thẳng bằng nhau. Từ đó, tiếp tục vận dụng để chứng minh những điều khác. Dây chung đóng vai trò là yếu tố trung gian chuyển từ đường tròn này sang đường tròn kia.
Các bài toán vẽ thêm hình trong đường tròn
Bài toán 1: Cho đường tròn (O; 2cm) và một điểm A sao cho OA = 3 cm. Một cát tuyến quay quanh A cắt đường tròn tại M và N. Tính giá trị lớn nhất của tổng AM + AN
Hướng dẫn:
Vẽ OH ⊥ MN thì HM = HN
Ta có: AM = AH – HM và AN = AH + MN
Suy ra: AM + AN = AH – HM + AH + MN = 2AH ( do HM = HN)
Mặt khác AH ≤ AO ( quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
Do đó AM + AN ≤ 2 AO = 6 cm
Dấu bằng xảy ra khi cát tuyến AMN đi qua O
Vậy giá trị lớn nhất của tổng AM + AN là 6 cm, khi cát tuyến đi qua O
Bài toán 2: Cho góc xOy có số đo bằng 600 . Lấy điểm E trên tia phân giác của góc đó. Vẽ đường tròn (E) cắt tia Ox tại A và B, cắt tia Oy tại C và D sao cho OA < OB ; OC < OD. Vẽ đường tròn (F) đi qua 3 điểm E, A, D. Chứng minh rằng
a) AB = CD
b) góc AED bằng 1200
c) F thuộc đường tròn (E)
Hướng dẫn:
a) Vẽ EH ⊥ AB; EK ⊥ CD
Theo tính chất tia phân giác, ta có: EH = EK
⇒ AB = CD (hai dây cách đều tâm thì bằng nhau)
b) ΔHEA= ΔKED (cạnh huyền – cạnh góc vuông)
Mặt khác:
c) ΔAEF= ΔDEF (c.c.c)
ΔAEF có FA = FE nên là tam giác cân, lại có góc AEF bằng 600 nên là tam giác đều.
Vậy điểm F thuộc đường tròn (E).
Bài toán 3: Từ một điểm A ở bên ngoài hai đường tròn đồng tâm (O) vẽ hai tiếp tuyến AM, AN với đường tròn nhỏ (M, N là các tiếp điểm). Tia AM cắt đường tròn lớn tại B và C (B nằm giữa A và C), tia AN cắt đường tròn lớn tại D và E (D nằm giữa A và E). Chứng minh rằng:
a) Tam giác ACE cân
b) Tứ giác BDEC là hình thang cân.
Hướng dẫn:
a) Nối OM, ON. Vì AM, AN là hai tiếp tuyến nên
OM ⊥ AM; ON ⊥ AN; AM = AN
Vì OM = ON nên BC = DE
Mặt khác, ta có:
MB = MC = 1/2 BC và ND = NE = 1/2 DE
Nên AM + MC = AN + NE ⇔ AC = AE
Vậy ΔACE cân.
b) Ta có: AC = AE; BC = DE
⇒ AC – BC = AE – DE hay AB = AD
Hai tam giác cân ABD và ACE có chung góc A ở đỉnh nên góc ABD bằng góc ACE do đó BD // CE
⇒ Tứ giác BDEC là hình thang
Lại có góc C bằng góc E nên tứ giác BDEC là hình thang cân.
Bài toán 4: Cho hai đường tròn (O; R) và (O’; R’) tiếp xúc ngoài với nhau tại A. Vẽ tiếp tuyến chung ngoài BC với B ∈ (O); C ∈ (O’). Chứng minh rằng
Hướng dẫn:
Qua A vẽ tiếp tuyến chung của hai đường tròn cắt BC tại M.
Ta có: AM ⊥ OO’ và AM = BM = CM = 1/2 BC
Các tia MO và MO’ là các tia phân giác của hai góc kề bù góc AMB và góc AMC nên MO ⊥ MO’
Xét tam giác OMO’ vuông tại M có MA là đường cao:
MA2 = OA.O’A
Bài toán 5: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB. Vẽ bán kính OC ⊥ AB rồi từ C vẽ tiếp tuyến xy với nửa đường tròn. Vẽ đường tròn (K) tiếp xúc với AB và tiếp xúc trong với đường tròn (O). Chứng minh rằng tâm K luôn cách đều điểm O và đường thẳng xy
Hướng dẫn:
Gọi M, N lần lượt là tiếp điểm của đường tròn (K) với AB và với đường tròn (O)
Từ N vẽ một tiếp tuyến chung với hai đường tròn, nó cắt đường thẳng AB tại D và cắt đường thẳng MK tại E.
Ta sẽ chứng minh E thuộc đường thẳng xy
Ta có 3 điểm K, O, N thẳng hàng và KN ⊥ DE; C và DM = DN
ΔMDE= ΔNDO (g.c.g)
⇒ EM = ON, do đó EM = OC = R, dẫn tới E ∈ xy và KE ⊥ xy (vì xy // AB)
ΔNKE = ΔMKO (g.c.g)
⇒ KE = KO
Vậy tâm K luôn cách đều điểm O và đường thẳng xy
Bài toán 6: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Qua A vẽ một cát tuyến EAF trong đó E ∈ (O) và F ∈ (O’). Chứng minh rằng đường trung trực của EF luôn đi qua một điêm cố định.
Hướng dẫn:
Vẽ dây chung AB và các đường kính AOC và AO’D
Ta được: 
do đó, 3 điểm B, C, D thẳng hàng và CD là một đoạn thẳng cố định
Ta có: 
nên EC // FD
⇒ Tứ giác FECD là hình thang vuông.
Đường thẳng (d) là đường trung trực của EF nên d // EC // FD do đó (d) đi qua trung điểm của CD, đó là một điểm cố định.
Hình học 9 - Tags: toán 9, vẽ thêm hìnhMột số bài hình ôn thi vào lớp 10 có lời giải
Bài tập liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây có đáp án
Bài tập vị trí tương đối của hai đường tròn có đáp án
Tóm tắt kiến thức Hình học 9 cả năm
Bài tập nâng cao: Sự xác định đường tròn, quan hệ hai đường tròn, góc với đường tròn
Bài tập nâng cao: Hệ thức lượng trong tam giác vuông, tỷ số lượng giác góc nhọn
Phương pháp chứng minh tứ giác nội tiếp