Bài tập đường trung bình của tam giác, hình thang

Cách chứng minh một đường thẳng là đường trung bình của tam giác hoặc đường trung bình của hình thang trong chương trình hình học 8.

Trước tiên chúng ta cần nhớ lại lý thuyết về đường trung bình của tam giác, hình thang.

Định nghĩa: Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh của tam giác.

Định nghĩa: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm của hai cạnh bên của hình thang.

Cách chứng minh đường trung bình

Nhận biết đường trung bình của tam giác:

Định lý 1: Đường thẳng đi qua trung điểm của một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.

Định lý 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy.

Nhận biết đường trung bình của hình thang:

Định lý 1: Đường thẳng đi trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai.

Định lý 2: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai cạnh đáy và bằng nửa tổng hai đáy.

Bài tập tự giải

Dựa vào nhận biết vừa nêu trên để làm các bài tập dưới đây.

Bài 1: Cho tam giác ABC có AB = 5cm, AC = 7cm, BC = 9cm. Kéo dài  AB lấy điểm D sao cho BD = BA, kéo dài AC lấy điểm E sao cho CE = CA. Kéo dài đường trung tuyến AM của tam giác ABC lấy MI = MA.

1) Tính độ dài các cạnh tam giác ADE.

2) Chứng minh:   a) DI // BC

b) Ba điểm D, I, E thẳng hàng.

Bài 2: Cho tam giác ABC có độ dài BC = a và M là trung điểm của AB.

Tia Mx // BC cắt AC tại N.

1) Chứng minh N là trung điểm của AC.

2) Tính độ dài đoạn thẳng  MN theo a.

Bài 3: Cho tam giác MNP có MN = 4cm, MP = 6cm, NP = 8cm. Kéo dài MN lấy điểm I sao cho NI = NM, kéo dài MP lấy điểm K sao cho PK = PM, kéo dài trung tuyến MO của tam giác MNP lấy OS = OM.

1) Tính độ dài các cạnh của tam giác MIK.

2) Chứng minh ba điểm I, S, K thẳng hàng.

3) Chứng minh \displaystyle {{S}_{{MKI}}}

= 4\displaystyle {{S}_{{MNP}}}.

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC. Kẻ Mx // AC cắt AB tại E, kẻ My // AB cắt AC tại F. Chứng minh rằng:

1) E, F là trung điểm của AB và AC.

2) EF = \displaystyle \frac{1}{2}