Cách biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

+ Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để được phương trình bậc nhất đối với x

+ Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)

+ Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ

– Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b

Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm

Nếu b ≠ 0 thì hệ vô nghiệm

– Nếu a ≠ 0 thì (1) ⇒ $\displaystyle x=\frac{b}{a}$

. Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất.

Giải và biện luận hệ phương trình: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}mx-y=2m(1)\\4x-my=m+6(2)\end{array} \right.$

Từ (1) ⇒ $\displaystyle y=mx-2m$

, thay vào (2) ta được:

4x – m(mx – 2m) = m + 6 ⇔ (m² – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)

+ Nếu m² – 4 ≠ 0 hay m ≠ ±2 thì $\displaystyle x=\frac{{(2m+3)(m-2)}}{{{{m}^{2}}-4}}=\frac{{2m+3}}{{m+2}}$

Khi đó $\displaystyle y=-\frac{m}{{m+2}}$ . Hệ có nghiệm duy nhất: ( $\displaystyle \frac{{2m+3}}{{m+2}}$ ; $\displaystyle -\frac{m}{{m+2}}$ )

+ Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx – 2m = 2x – 4

Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x ∈ R

+ Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 . Hệ vô nghiệm

Giải và biện luận các hệ phương trình dưới đây:
1) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}mx+y=3m-1\\x+my=m+1\end{array} \right.$

2) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}mx+4y=10-m\\x+my=4\end{array} \right.$

3) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(m-1)x-my=3m-1\\2x-y=m+5\end{array} \right.$

4) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+my=3m\\mx-y={{m}^{2}}-2\end{array} \right.$

5) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-my=1+{{m}^{2}}\\mx+y=1+{{m}^{2}}\end{array} \right.$

6) $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-y=3+2m\\mx+y={{(m+1)}^{2}}\end{array} \right.$