Cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian
Phương pháp chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian bằng 3 cách. Áp dụng vào giải bài tập chứng minh hai đường thẳng song song.
*Định nghĩa:
Hai đường thẳng song song nếu chúng đồng phẳng và không có điểm chung.
Cách chứng minh hai đường thẳng song song
Các em có thể dùng 3 cách dưới đây:
– Cách thứ nhất: Chứng minh chúng đồng phẳng rồi sử dụng các định lí đường trung bình, Thales đảo … quen thuộc trong hình học phẳng.
– Cách thứ hai: Chứng minh chúng cùng song song với đường thẳng thứ ba.
– Cách thứ ba: Dùng hệ quả: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến (nếu có) của chúng song song hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó.
Ví dụ có lời giải
Đọc 5 ví dụ dưới đây để biết cách chứng minh 2 đường thẳng song song trong không gian như thế nào nhé.
Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD .Gọi I ,J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh : IJ ∕ ∕ CD
Ví dụ giải
Gọi E là trung điểm của AB. theo tính chất trọng tâm ta có tỉ số EJ/ED = EI/EC = 1/3 ( Tính chất trọng tâm)
⇒ IJ // CD ( Định lí talet đảo )
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình bình hành .Gọi A’ ,B’ , C’ ,D’ lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB , SC , SD
a. Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành
b. Gọi M là điểm bất kì trên BC . Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD
Ví dụ giải
Chứng minh A’B’C’D’ là hình bình hành :
Trong tam giác SAB, ta có : A’B’ // AB
Trong tam giác SCD, ta có C’D’//CD Mặt khác AB // CD ⇒ A’B’ // C’D’
Vậy : A’B’C’D’ là hình bình hành
Tìm thiết diện của (A’B’M) với hình chóp S.ABCD:
Ta có : AB ∕ ∕ A’B’ và M là điểm chung của (A’B’M) và (ABCD)
Do đó giao tuyến của (A’B’M) và (ABCD) là Mx song song AB và A’B’. Gọi N = Mx ∩ AD
Vậy : thiết diện là hình thang A’B’MN
Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang với cạnh đáy AB và CD (AB >CD). Gọi M , N lần lượt là trung điểm các cạnh SA , SB
a. Chứng minh : MN ∕ ∕ CD
b. Tìm P = SC ∩ (ADN)
c. Kéo dài AN và DP cắt nhau tại I. Chứng minh : SI ∕ ∕ AB ∕ ∕ CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
Ví dụ giải
Chứng minh : MN ∕ ∕ CD :
Trong tam giác SAB, ta có : MN ∕ ∕ AB
Mà AB ∕ ∕ CD ( ABCD là hình thang )
Vậy : MN ∕ ∕ CD
Tìm P = SC ∩ (ADN):
- Chọn mp phụ (SBC) ⊃ SC
- Tìm giao tuyến của (SBC ) và (ADN)
Ta có : N là điểm chung của (SBC ) và (ADN)
Trong (ABCD), gọi E = AD ∩ AC
⇒ ( SBC) ∩ (ADN ) = NE
- Trong (SBC), gọi P = SC ∩ NE
Vậy : P = SC ∩ ( ADN )
Chứng minh : SI // AB // CD . Tứ giác SABI là hình gì ?
SI = (SAB) ∩(SCD)
AB // CD
⇒ SI // AB // CD (1)
Trong tam giác SAI có SI // MN , SI = 2MN và AB = 2 MN ⇒ SI = AB (2)
Từ (1) và (2) ⇒ SABI là hình bình hành
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB). Gọi I, J lần lượt là trung điểm AD và BC , K là điểm trên cạnh SB sao cho SK = 2/3SB .
a. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK)
b. Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD. Tìm điều kiện để thiết diện là hình bình hành
Ví dụ giải
Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJK):
Ta có : AB ∕ ∕ IJ và K là điểm chung của (SAB) và (IJK) Vậy : giao tuyến là đường thẳng Kx song song AB
Tìm thiết diện của (IJK) với hình chóp S.ABCD :
Gọi L = Kx ∩ SA
Thiết diện là hình thang IJKL
Do : IJ là đường trung bình của hình thang ABCD ⇒ IJ = 1/2 (AB + CD)
Xét tam giác SAB có : LK/AB = SK/SB = 2/3 ⇒ LK =2/3.AB
IJKL là hình bình hành ⇔ IJ = KL ⇔ 1/2.(AB + CD) = 2/3.AB ⇔ AB = 3.CD
Vậy : thiết diện IJKL là hình bình hành ⇔ AB = 3.CD
Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M ,N ,P , Q lần lượt là các điểm nằm trên các cạnh BC , SC , SD ,AD sao cho MN // BS , NP // CD , MQ // CD
a. Chứng minh : PQ // SA.
b. Gọi K = MN ∩ PQ. Chứng minh điểm K nằm trên đường thẳng cố định khi M di động trên cạnh BC.
Ví dụ giải
Chứng minh : PQ // SA.
Xét tam giác SCD. Ta có : NP // CD ⇔ DP/SD = CN/CS (1)
tương tự MN // SB ta có CN /CS = CM/CB (2)
Ta có MQ // AB ⇒ CM / CB = DQ/ DA (3)
từ (1), (2) và (3) ⇒ DP / DS = DQ / DA ⇒ PQ // SA
Hình học 11 - Tags: đường thẳng, đường thẳng song song, hình học không gian, toán 11Tính chất các phép toán về vectơ trong không gian
Bài tập chứng minh hai mặt phẳng song song
Bài tập tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Bài tập chứng minh hai đường thẳng song song trong không gian lớp 11
Bài tập Phép biến hình và phép tịnh tiến – Hình học 11
Cách chứng minh 2 mặt phẳng song song – Toán 11
Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian lớp 11