Cách chứng minh 2 hai điểm trùng nhau bằng vectơ

Phương pháp chung

Muốn chứng minh 2 điểm {{A}_{1}}

và {{A}_{2}} trùng nhau, chúng ta có thể sử dụng một trong hai cách sau:

– Cách 1:  Chứng minh cho \overrightarrow{{{A}_{1}}{{A}_{2}}}=\overrightarrow{0}

.

– Cách 2: Chứng minh cho \overrightarrow{O{{A}_{1}}}=\overrightarrow{O{{A}_{2}}} với O là điểm tùy ý.

Ứng dụng vectơ chứng minh 2 điểm trùng nhau

Bài toán: Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Chứng minh rằng hai tam giác ANP và CMQ có cùng trọng tâm.

Giải

Gọi {{G}_{1}},{{G}_{2}} lần lượt là trọng tâm của tam giác ANP và CMQ và O là một điểm tùy ý.

Ta có:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=3\overrightarrow{O{{G}_{1}}}\\\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OQ}=3\overrightarrow{O{{G}_{2}}}\end{array} \right.

Mặt khác:

\begin{array}{l}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{O\text{D}})\\\end{array}

=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\text{D}})            (2)

\begin{array}{l}\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OM}+\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{O\text{D}})\\\end{array}

=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{O\text{D}})              (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra: \overrightarrow{O{{G}_{1}}}=\overrightarrow{O{{G}_{2}}}

Vậy {{G}_{1}} và {{G}_{2}} trùng nhau.

Bài tập

Bài 1: Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Bài 2: Cho lục giác ABCDEF có AB\bot \text{EF} và hai tam giác ACE và BDF có cùng trọng tâm. CMR: AB²+EF²=CD².

Hình học 10 - Tags: ,