Đề ôn tập thi học sinh giỏi lớp 9 môn Toán

Đây là bài thứ 151 of 172 trong chuyên đề Đề thi HSG Toán 9

Đề luyện ôn tập bồi dưỡng thi học sinh giỏi Toán lớp 9.

Câu 1:

a) Cho $\displaystyle \displaystyle a,\,\,b,\,\,c$

là các số dương và thỏa mãn đẳng thức $\displaystyle \displaystyle \frac{1}{{\sqrt{a}}}+\frac{1}{{\sqrt{b}}}=\frac{1}{{\sqrt{c}}}$

Chứng minh rằng:

$\displaystyle \displaystyle \frac{{\sqrt{{ab}}}}{c}-\frac{{\sqrt{{bc}}}}{a}-\frac{{\sqrt{{ca}}}}{b}=3$

b) Giả sử các số $\displaystyle \displaystyle a,\,b,\,c,\,d$ thỏa mãn $\displaystyle \displaystyle a+b=c+d$ và $\displaystyle \displaystyle {{a}^{2}}+{{b}^{2}}={{c}^{2}}+{{d}^{2}}$ .

Chứng minh rằng: $\displaystyle \displaystyle {{a}^{{2013}}}+{{b}^{{2013}}}={{c}^{{2013}}}+{{d}^{{2013}}}$

Câu 2:

a) Chứng minh rằng nếu $\displaystyle \displaystyle x,\,\,y,\,\,z$ là các số nguyên dương thỏa mãn $\displaystyle \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{z}^{2}}$ thì $\displaystyle \displaystyle xy\,\vdots \,12$ .

b) Tìm tất cả các số nguyên dương $\displaystyle \displaystyle x,\,\,y$ thỏa mãn phương trình $\displaystyle \displaystyle {{2}^{x}}+1={{3}^{y}}$ .

c) Tìm số tự nhiên n để 2n + 15 là số chính phương.

Câu 3:

1. Cho $\displaystyle \displaystyle a,\,b,\,c$ là các số dương. Chứng minh rằng:

a) $\displaystyle \displaystyle \frac{a}{{b+2c}}+\frac{b}{{c+2a}}+\frac{c}{{a+2b}}\ge 1$ .

b) $\displaystyle \displaystyle \frac{{a\left( {b+2c} \right)}}{{\sqrt{{3{{b}^{2}}+6{{c}^{2}}}}}}+\frac{{b\left( {c+2a} \right)}}{{\sqrt{{3{{c}^{2}}+6{{a}^{2}}}}}}+\frac{{c\left( {a+2b} \right)}}{{\sqrt{{3{{a}^{2}}+6{{b}^{2}}}}}}\le a+b+c$ .

2. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn $\displaystyle a^2 + b^2 + c^2 = 1$ .

Chứng minh rằng $\displaystyle abc + 2(1 + a + b + c + ab + ac + bc) \ge 0$ .

3. Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $\displaystyle a+b+c\le 2$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\displaystyle P=21\left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)+12{{\left( {a+b+c} \right)}^{2}}+2017\left( {\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}} \right)$

Câu 4:

1. Cho ∆ABC vuông ở A (AB < AC). Biết BC = $\displaystyle 4+4\sqrt{3}$ và bán kính đường tròn nội tiếp ∆ABC bằng 2. Tính số đo góc B và góc C của ∆ABC.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân tại B, ACF vuông cân tại C. Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Kẻ DM vuông góc với BC, FN vuông góc với BC.

a) Chứng minh DM + FN = BC.

b) Chứng minh AH = AK.

Câu 5: Giải các phương trình
a) $\displaystyle \frac{1}{{\sqrt{{x+3}}+\sqrt{{x+2}}}}+\frac{1}{{\sqrt{{x+2}}+\sqrt{{x+1}}}}=\frac{1}{{\sqrt{{x+1}}+\sqrt{x}}}$