Đề thi HSG Toán lớp 9 huyện Lương Tài 2015-2016

Đây là bài thứ 141 of 172 trong chuyên đề Đề thi HSG Toán 9

Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9, phòng giáo dục và đào tạo huyện Lương Tài, tỉnh Bắc Ninh, năm học 2015-2016.

Thời gian làm bài 150 phút. (không kể thời gian giao đề).

Hình thức thi Tự luận gồm 5 câu, trong đó 4 câu Đại số và 1 câu Hình học.

Bài 1: (2,0 điểm)

Cho biểu thức: $\displaystyle P=\frac{{{x}^{2}}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}-\frac{2x+\sqrt{x}}{\sqrt{x}}+\frac{2\left( x-1 \right)}{\sqrt{x}-1}.$

a) Rút gọn $P$

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của $P$

c) Xét biểu thức: $\displaystyle Q=\frac{2\sqrt{x}}{P},$

chứng tỏ $0 < Q < 2$

Bài 2: (2,0 điểm)

1. Giải phương trình:

$\displaystyle \sqrt{{{x}^{2}}-3x+2}+\sqrt{x+3}=\sqrt{x-2}+\sqrt{{{x}^{2}}+2x-3}$

2. Cho đường thẳng $(d): y = (m + 4)x - m + 6$ .

a,Tìm $m$ để $(d)$ cắt đường thẳng $\displaystyle ({{d}_{1}}):y\text{ }=\text{ }2x\text{ }+\text{ }4$ tại một điểm trên trục hoành.

b, Chứng minh rằng: khi $m$ thay đổi thì đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 3: (2,0 điểm)

1. Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $xy- 2x + 3y = 21$

2. Chứng minh rằng với mọi $x, y$ nguyên thì

$A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y^{4}$ là số chính phương

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho $AB$ là đường kính của đường tròn $(O;R)$ . $C$ là một điểm thay đổi trên đường tròn ( $C$ khác $A$ và $B$ ), kẻ $CH$ vuông góc với $AB$ tại $H$ . Qua $A$ kẻ đường thẳng $xy$ vuông góc với $AB$ . Gọi $I$ là trung điểm của $AC$ , $OI$ cắt đường thẳng $xy$ tại $M$ , $MB$ cắt $CH$ tại $K$ .

a) Chứng minh $MC ⊥ OC$

b) Chứng minh $K$ là trung điểm của

c) Xác định vị trí của $C$ để chu vi tam giác $ACB$ đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó theo $R$ .

Câu 5: (1điểm )

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $\displaystyle P = \sqrt{\frac{ab}{c+ab}}+\sqrt{\frac{bc}{a+bc}}+\sqrt{\frac{ca}{b+ca}}$ .