Định nghĩa, ý nghĩa, công thức tính đạo hàm

Lý thuyết Đạo hàm: Định nghĩa, ý nghĩa, quy tắc và công thức tính đạo hàm, công thức tính nhanh đạo hàm phân thức, đạo hàm cấp 2.

Bài viết này nói về kiến thức Đạo hàm lớp 11.

Đạo hàm là tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số tại điểm x₀. Giá trị của đạo hàm thể hiện chiều biến thiên của hàm số và độ lớn của biến thiên này. Đạo hàm có ý nghĩa hình học và vật lý.

1. Định nghĩa đạo hàm

Cho hàm số $y=f(x)$

xác định trên khoảng $(a ; b)$

và $x_{0} \in(a ; b)$

, đạo hàm của hàm số tại điểm $x_{0}$ là:

$\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} \frac{f(x)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}$

Nếu ký hiệu: $\Delta x=x-x_{0}$ và $\Delta y=f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)$ thì:
$\displaystyle f^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f\left(x_{0}-\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{x-x_{0}}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$

– Nếu hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$ thì nó liên tục tại điểm $x_{0}$ .

2. Ý nghĩa của đạo hàm

• Ý nghĩa hình học của đạo hàm:

– Cho hàm số $y=f(x)$

có đồ thị (C).

– $f^{\prime}\left(x_{0}\right)$ là hệ số góc tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số $y=f(x)$

tại $M_{0}\left(x_{0} ; x_{0}\right) \in(C)$ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$

tại điểm $M_{0}$ là:

$y=f^{\prime}\left(x_{0}\right) \cdot\left(x-x_{0}\right)+y_{0}$

• Ý nghĩa vật lý của đạo hàm:

– Vận tốc tức thời của chuyển động thẳng xác định bởi phương trình: $s=s(t)$ tại thời điểm $t_{0}$ là $\displaystyle v({{t}_{0}})={{s}^{\prime }}({{t}_{0}})$ .

– Cường độ tức thời của lượng điện $\displaystyle Q=Q(t)$ tại điểm $t_{0}$ là $\displaystyle I({{t}_{0}})={{Q}^{\prime }}({{t}_{0}})$ .

3. Quy tắc và công thức tính đạo hàm

– Quy tắc tính đạo hàm: Cho $u=u(x) ; v=v(x) ; C:$ là hằng số

– Tổng, hiệu: $(u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime}$

– Tích: $(u . v)^{\prime}=u^{\prime} \cdot v+v^{\prime} \cdot u \Rightarrow(C . u)^{\prime}=C . u^{\prime}$

– Thương: $\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{u^{\prime} \cdot v-v^{\prime} \cdot u}{v^{2}},(v \neq 0) \Rightarrow\left(\frac{C}{u}\right)^{\prime}=-\frac{C \cdot u^{\prime}}{u^{2}}$

– Đạo hàm hàm hợp: Nếu $y=f(u), u=u(x) \Rightarrow y_{x}^{\prime}=y_{u}^{\prime} \cdot u_{x}^{\prime}$ .

Bảng công thức tính đạo hàm:

Tính đạo hàm của hàm sơ cấp và đạo hàm của hàm hợp như bảng tóm tắt dưới đây.

Định nghĩa, ý nghĩa, công thức tính đạo hàm

Công thức tính nhanh đạo hàm hàm phân thức:

$\displaystyle\left(\frac{a x+b}{c x+d}\right)^{\prime}=\frac{a d-b c}{(c x+d)^{2}}$

$\displaystyle {{\left( {\frac{{a{{x}^{2}}+bx+c}}{{d{{x}^{2}}+ex+f}}} \right)}^{\prime }}=\frac{{\left| {\begin{array}{*{20}{l}} a & b \\ d & e \end{array}} \right|{{x}^{2}}+2\left| {\begin{array}{*{20}{l}} a & c \\ d & f \end{array}} \right|x+\left| {\begin{array}{*{20}{l}} b & c \\ e & f \end{array}} \right|}}{{{{{\left( {d{{x}^{2}}+ex+f} \right)}}^{2}}}}$