Giải bài toán cực trị bằng tích vô hướng của 2 vectơ

Phương pháp giải bài toán cực trị bằng tích vô hướng

Sử dụng tích vô hướng biến đổi biểu thức cần tìm cực trị về biểu thức độ dài, ví dụ: S=M{{I}^{2}}+c

, với c là hằng số và I cố định.

Khi đó \displaystyle {{S}_{Min}}=c

, đạt được khi

MI=0 ⇔ M≡I.

Ứng dụng tích vô hướng giải các bài toán cực trị

Bài toán 1: Cho \Delta

ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR: \displaystyle \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}=0.

b. CMR: M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}+3M{{G}^{2}}, từ đó suy ra vị trí của M để M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a. Ta có:

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{MC}.\overrightarrow{AB}

=\overrightarrow{MA}.(\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB})+\overrightarrow{MB}.(\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC})+\overrightarrow{MC}.(\overrightarrow{MB}-\overrightarrow{MA})=0

b. Ta có:

\begin{array}{l}M{{A}^{2}}={{\overrightarrow{MA}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GA})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GA}\\M{{B}^{2}}={{\overrightarrow{MB}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GB})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{B}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GB}\\M{{C}^{2}}={{\overrightarrow{MC}}^{2}}={{(\overrightarrow{MG}+\overrightarrow{GC})}^{2}}=M{{G}^{2}}+G{{C}^{2}}+2\overrightarrow{MG}.\overrightarrow{GC}\end{array}

Cộng vế theo vế ta được:

\begin{array}{l}M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{C}^{2}}+\overrightarrow{MG}.(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC})\\\end{array}

=3M{{G}^{2}}+G{{A}^{2}}+G{{B}^{2}}+G{{C}^{2}}(vì \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0})

Từ đó suy ra \displaystyle M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất khi M{{G}^{2}}=0\Leftrightarrow M\equiv I

Bài toán 2:  Cho hình bình hành ABCD, tâm O, M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR: M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{\text{D}}^{2}}-2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}})

b. Giả sử M di động trên đường tròn (d), xác định vị trí của M để M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất.

Giải

a. Ta có:

\left\{ \begin{matrix}\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}=2\overrightarrow{MO} \\\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}=2\overrightarrow{MO} \\\end{matrix} \right.\Rightarrow {{(\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC})}^{2}}={{(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD})}^{2}}

\Leftrightarrow M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} M{{\text{D}}^{2}}+2(\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD})=0                                      (1)

Ta xét:

\overrightarrow{MA}.\overrightarrow{MC}-\overrightarrow{MB}.\overrightarrow{MD}=(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OM})-(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OD}-\overrightarrow{OM})

=-(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OM})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OM}).(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OM})

=-O{{A}^{2}}+O{{M}^{2}}+O{{B}^{2}}-O{{M}^{2}}=O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}                                                            (2)

Thay (2) vào (1), ta được:

M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}-M{{D}^{2}}+2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}})=0

\Leftrightarrow M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{D}^{2}}-2(O{{B}^{2}}-O{{A}^{2}}) ⇒ đpcm.

b. Từ kết quả câu a) suy ra M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}+M{{C}^{2}} đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi M{{\text{D}}^{2}} nhỏ nhất

⇔ M là hình chiếu vuông góc của D lên (d).

Bài tập tự giải

Bài 1: Cho \Delta

ABC đều cạnh bằng 6, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp \DeltaABC. Đặt S=M{{A}^{2}}-M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}.

a. Tìm giá trị nhỏ nhất của S.

b. Tìm giá trị lớn nhất của S.

Bài 2: Cho \Delta

ABC, G là trọng tâm và M là điểm tùy ‎ý.

a. CMR vectơ \displaystyle \overrightarrow{v}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}-2\overrightarrow{MC}, không phụ thuộc vào vị trí của M.

b. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp \Delta

ABC, chứng minh rằng:

M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=2\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{v}

c. Tìm tập hợp những điểm M thỏa mãn M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}}=0.

Giả sử M di động trên đường tròn ngoại tiếp \Delta

ABC, tìm vị trí của M để M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-2M{{C}^{2}} đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Hình học 10 - Tags: , ,