Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp nâng lên lũy thừa

Phương trình vô tỷ là những phương trình chứa ẩn trong dấu căn. Chúng ta cùng tìm hiểu các cách giải PT vô tỉ bằng cách nâng lên lũy thừa.

Để hiểu hơn về phương pháp này các em theo dõi ví dụ có lời giải dưới đây.

a) Dạng 1: \sqrt{\mathrm{f}(\mathrm{x})}=\mathrm{g}(\mathrm{x}) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\mathrm{g}(\mathrm{x}) \geq 0 \\ \mathrm{f}(\mathrm{x})=[\mathrm{g}(\mathrm{x})]^{2}\end{array}\right.

Ví dụ 1. Giải phương trình: \sqrt{x+1}=x-1

(1)

Giải

(1)\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 1 \\ \sqrt{x+1}=x-1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 1 \\ x^{2}-3 x=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 1 \\ x=3\end{array}\right.\right.\right.

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 3.

b) Dạng 2: \sqrt{\mathrm{f}(\mathrm{x})}+\sqrt{\mathrm{g}(\mathrm{x})}=\mathrm{h}(\mathrm{x})

Ví dụ 2. Giải phương trình: \sqrt{x+3}=5-\sqrt{x-2}   (2)

Giải

Với điều kiện x \geq 2. Ta có PT(2):

\displaystyle \Leftrightarrow \sqrt{{x+3}}+\sqrt{{x-2}}=5

\displaystyle {\Leftrightarrow 2x+1+2\sqrt{{(x+3)(x-2)}}=25}

\displaystyle {\Leftrightarrow \sqrt{{(x+3)(x-2)}}=12-x}

\displaystyle {\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\le x\le 12} \\ {{{x}^{2}}+x-6=144+{{x}^{2}}-24x} \end{array}\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2\le x\le 12} \\ {25x=150} \end{array}\Leftrightarrow x=6} \right.} \right.}

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm x = 6.

b) Dạng 3: \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)}

Ví dụ 3. Giải phương trình: \sqrt{x+1}-\sqrt{x-7}=\sqrt{12-x} (3)

Giải

Với điều kiện 7 \leq x \leq 12. Ta có:

\displaystyle (3)\Leftrightarrow \sqrt{{x+1}}=\sqrt{{12-x}}+\sqrt{{x-7}}

\displaystyle {\Leftrightarrow x+1=5+2\sqrt{{(12-x)(x-7)}}}

\displaystyle {\Leftrightarrow 2\sqrt{{19x-{{x}^{2}}-84}}=x-4}

\displaystyle {\Leftrightarrow 4\left( {19x-{{x}^{2}}-84} \right)={{x}^{2}}-8x+16}

\displaystyle {\Leftrightarrow 76x-4{{x}^{2}}-336-{{x}^{2}}+8x-16=0}

\displaystyle {\Leftrightarrow 5{{x}^{2}}-84x+352=0}

\displaystyle \Leftrightarrow (x-8)(5x-44)=0

\displaystyle \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x-8=0\\5x-44=0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=8\\x=\frac{{44}}{5}\end{array} \right.

Đại số 9 - Tags: , , , , ,