So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số

Phương pháp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0, với 1 số bất kỳ, phương trình quy về phương trình bậc 2.

Bài viết này Gia sư Tiến Bộ hướng dẫn các em cách so sánh nghiệm của PT bậc 2 với một số, đây là một dạng toán quen thuộc trong chương trình Toán lớp 9 với các bài toán có phương trình bậc hai.

Trước tiên các em cần phải ghi nhớ hệ thức Vi ét cho phương trình bậc 2 để áp dụng xác định dấu của các nghiệm.

Dấu của các nghiệm của phương trình bậc hai

Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc hai : $a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)$

có nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

thì $\displaystyle S={{x}_{1}}+{{x}_{2}}=\frac{{-b}}{a};P={{x}_{1}}.{{x}_{2}}=\frac{c}{a}$

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2 :

– Có 2 nghiệm dương là: $\displaystyle \Delta \ge 0;P>0;S>0.$

– Có 2 nghiệm âm là: $\displaystyle \Delta \ge 0;P>0;S<0.$

– Có 2 nghiệm trái dấu là: $P<0$ (Khi đó hiển nhiên $\displaystyle \Delta >0)$ .

So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0

Trong nhiều trường hợp ta cần so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước, trong đó có nhiều bài toán đòi hỏi tìm điều kiện để phương trình bậc 2: $a{{x}^{2}}+bx+c=0(a\ne 0)$

có ít nhất một nghiệm không âm.

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm không âm:

${{x}^{2}}+mx+2m-4=0$ (1) .

Cách 1: $\displaystyle \Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\forall m$ khi đó phương trình có 2 nghiệm ${{x}_{1}},{{x}_{2}}$

thoả mãn: $P=2m-4;S=-m$ .

Trước hết ta tìm điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm đều âm. Điều kiện đó là: $\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}P>0\\S<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m-4>0\\-m<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>2\\m>0\end{array} \right.\Leftrightarrow m>2\\\end{array}$

Vậy điều kiện để phương trình (1) có ít nhất một nghiệm không âm là $m\le 2.$

Cách 2: $\displaystyle \Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\forall m$ ; $P=2m-4;S=-m$ .

-Nếu $P\le 0$ $\displaystyle \Leftrightarrow m\le 2$ , thì phương trình (1) tồn tại nghiệm không âm.

– Nếu $P>0$ thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu . Để thoả mãn đề bài ta phải có $S>0$ . Giải điều kiện P>0; S>0 được m>2 và m<0 không xảy ra.

KL: $m\le 2.$

Cách 3: Giải phương trình (1) : $\displaystyle \Delta ={{m}^{2}}-4(2m-4)={{(m-4)}^{2}}\ge 0\forall m$

Ta có: ${{x}_{1}}=\frac{{-m-(m-4)}}{2}=2-m;{{x}_{2}}=\frac{{-m+(m-4)}}{2}=-2$ .

Do ${{x}_{2}}=-2<0$ nên ta phải có ${{x}_{1}}\ge 0\Leftrightarrow 2-m\ge 0\Leftrightarrow m\le 2$ .

Ví dụ 2: Cho phương trình: ${{x}^{2}}-2(m+3)x+4m-1=0$ (2) . Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương.

Giải

Phương trình (2) có 2 nghiệm dương:

$\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P>0\\S>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{(m+3)}^{2}}-(4m-1)\ge 0\\4m-1>0\\2(m+3)>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{(m+1)}^{2}}+9>0\forall m\\m>\frac{1}{4}\\m>-3\end{array} \right.\Leftrightarrow m>\frac{1}{4}$

So sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ

Trong nhiều trường hợp để so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số bất kỳ ta có thể quy về trường hợp so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với số 0:

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2:

${{x}^{2}}+mx+1=0$ (1) .

Cách 1: Đặt y=x-2 $\displaystyle \Rightarrow x=y+2$ thay vào phương trình (1) ta được:

${{(y+2)}^{2}}+m(y+2)-1=0\Leftrightarrow {{y}^{2}}+(4+m)y+3-2m=0$ (2).

Ta cần tìm m để phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm.

$\displaystyle \Delta ={{(m+4)}^{2}}-4(2m+3)={{m}^{2}}+4>0\forall m;P=2m+3;S=-(m+4)$ . Điều kiện để phương trình (2) có 2 nghiệm đều âm là: $\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\Delta \ge 0\\P>0\\S<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2m+3>0\\-(m+4)<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m>\frac{{-3}}{2}\\m>-4\end{array} \right.\Leftrightarrow m>\frac{{-3}}{2}$ .

Vậy với $m\le \frac{{-3}}{2}$ thì phương trình (2) có ít nhất một nghiệm không âm tức là (1) có ít nhất một nghiệm lớn hơn hoặc bằng 2.

Cách 2: Giải phương trình (1) ta được: $\displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{-m+\sqrt{{{{m}^{2}}+4}}}}{2};{{x}_{2}}=\frac{{-m-\sqrt{{{{m}^{2}}+4}}}}{2}$ .

Ta thấy ${{x}_{1}}>{{x}_{2}}$ nên chỉ cần tìm m để ${{x}_{1}}\ge 2$ .

Ta có $\displaystyle \frac{{-m+\sqrt{{{{m}^{2}}+4}}}}{2}\ge 2\Leftrightarrow \sqrt{{{{m}^{2}}+4}}\ge m+4\text{ }(3)$

– Nếu $m\le -4$ thì (3) có vế phải âm , vế trái dương nên (3) đúng.

– Nếu $m>-4$ thì (3) $\displaystyle \Leftrightarrow {{m}^{2}}+4={{m}^{2}}+8m+16\Leftrightarrow m\le \frac{{-3}}{2}.$

Ta được $-4<m\le \frac{{-3}}{2}$ .

Gộp $m\le -4$ và $\displaystyle -4<m\le \dfrac{{-3}}{2}\Rightarrow m\le \dfrac{{-3}}{2}$ là giá trị cần tìm của m .

Ví dụ 2:Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2:

$3{{x}^{2}}-4x+2(m-1)=0$ (1).

Giải:

Cách 1: Đặt $y=x-2\Rightarrow x=y+2$ thay vào (1) ta được :

$3{{(y+2)}^{2}}-4(y+2)+2(m-1)=0$ $\displaystyle \Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+8y+2m+2=0$ (2)

Cần tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm âm phân biệt. Ta giải điều kiện:

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\Delta }^{'}}>0\\P>0\\S<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10-6m>0\\\frac{{2m+2}}{3}>0\\\frac{{-8}}{3}<0\end{array} \right.\Leftrightarrow -1<m<\frac{5}{3}$

KL: Với $-1<m<\frac{5}{3}$ thì phương trình (2) có nghiệm âm phân biệt, tức là phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 .

Cách 2: Xét phương trình (1). Giải điều kiện:

$\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{{\Delta }^{'}}>0\\{{x}_{1}}-2<0\\{{x}_{2}}-2<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{{\Delta }^{'}}>0\text{ }(2)\\({{x}_{1}}-2)({{x}_{2}}-2)>0\text{ }(3)\\({{x}_{1}}-2)+({{x}_{2}}-2)<0\text{ }(4)\end{array} \right.\\\end{array}$

Giải (2) được: $m<\frac{5}{3}$ .

Giải (3): ${{x}_{1}}{{x}_{2}}-2({{x}_{1}}+{{x}_{2}})+4>0\Leftrightarrow \frac{{2(m-1)}}{3}-2.\frac{4}{3}+4>0\Leftrightarrow m>-1.$

Giải (4) : ${{x}_{1}}+{{x}_{2}}$ -4<0 $\displaystyle \Leftrightarrow \frac{4}{3}-4<0$ luôn đúng .

Vậy ta được -1< $m<\frac{5}{3}$ .

Cách 3: Giải phương trình (1) : $\displaystyle \displaystyle {{\Delta }^{'}}=4-6(m-1)=10-6m$ .

Nếu ${{\Delta }^{'}}>0\Leftrightarrow m<\frac{5}{3}$ thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

$\displaystyle \displaystyle {{x}_{1}}=\frac{{2-\sqrt{{10-6m}}}}{3}$ ; $\displaystyle \displaystyle {{x}_{2}}=\frac{{2+\sqrt{{10-6m}}}}{3}$ . Do ${{x}_{1}}<{{x}_{2}}$ nên điều kiện để phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 là:

$\displaystyle \displaystyle {{x}_{2}}<2\Leftrightarrow 2+\sqrt{{10-6m}}<6\Leftrightarrow \sqrt{{10-6m}}<4\Leftrightarrow 10-6m<16\Leftrightarrow m>-1.$

Vậy ta được -1< $m<\frac{5}{3}$ .

Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm.

${{x}^{4}}+m{{x}^{2}}+2n-4=0$ (1)

Giải:

Đặt ${{x}^{2}}=y\ge 0$ .

Điều kiện để phương trình (1) có nghiệm là phương trình: ${{y}^{2}}+my+2m-4=0$ có ít nhất một nghiệm không âm ,

Theo kết quả ở VD1 mục I , các giá trị của m cần tìm là: $m\le 2.$

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của m để tập nghiệm của phương trình :

$x-\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}=m$ (1) chỉ có 1 phần tử

Giải:

(1) $\displaystyle \Leftrightarrow x-m=\sqrt{{1-{{x}^{2}}}}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge m\\{{(x-m)}^{2}}=1-{{x}^{2}}\end{array} \right.$ (*) $\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x\ge m\\2{{x}^{2}}-2mx+{{m}^{2}}-1=0(2)\end{array} \right.$

Do đó tập nghiệm của phương trình (1) chỉ có một phần tử khi và chỉ khi có 1 và chỉ 1 nghiệm của phương trình (2) thoả mãn điều kiện $x\ge m$ . Đặt

x – m = y. Khi đó phương trình (2) trở thành 2 ${{y}^{2}}+2my+{{m}^{2}}-1=0$ (3).

Cần tìm m để chỉ có một nghiệm của phương trình (3) thoả mãn $y\ge 0$ .

Có 3 trường hợp xảy ra :

a) Phương trình (3) có nghiệm kép không âm:
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}{{\Delta }^{'}}=0\\S\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}-{{m}^{2}}+2=0\\-m\ge 0\end{array} \right.\Leftrightarrow m=-\sqrt{2}$

b) Phương trình (3) có 2 nghiệm trái dấu:
$P<0\Leftrightarrow \frac{{{{m}^{2}}-1}}{2}<0\Leftrightarrow -1<m<1$

c) Phương trình (3) có một nghiệm âm, nghiệm còn lại bằng 0:
$\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}P=0\\S<0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}m=-1\\m=1\end{array} \right.\\-m<0\end{array} \right.\Leftrightarrow m=1$ .

KL: $m=-\sqrt{2}$ hoặc -1 $<m\le 1$ .

Ví dụ 3: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt:

$x(x-2)(x+2)(x+4)=m$ (1)

Giải: (1) $\displaystyle \Leftrightarrow ({{x}^{2}}+2x)({{x}^{2}}+2x-8)=m$ . Đặt ${{x}^{2}}+2x+1=y\ge 0,$

khi đó (1) trở thành $(y-1)(y-9)=m\Leftrightarrow {{y}^{2}}-10y+(9-m)=0$ (2)

Với cách đặt ẩn phụ như trên , ứng với mỗi giá trị dương của y có hai giá trị của x .

Do đó: có 4 nghiệm phân biệt $\displaystyle \Leftrightarrow$ (2) có 2 nghiệm dương phân biệt.

Do đó ở (2) ta phải có:
$\displaystyle \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{{\Delta }^{'}}>0\\P>0\\S>0\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}25-(9-m)>0\\9-m>0\\10>0\end{array} \right.\Leftrightarrow -16<m<9\\\end{array}$