Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp đặt ẩn phụ thường được dùng khi phân tích đa thức có dạng phức tạp, chưa nhìn ra ngay hướng phân tích.

Các em theo dõi ví dụ có lời giải dưới đây, từ đó áp dụng vào các bài tập tương tự.

Ví dụ 1:

\displaystyle x(x+4)(x+6)(x+10)+128

Hướng dẫn giải:

\displaystyle x(x+4)(x+6)(x+10)+128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128

\displaystyle =\left(x^{2}+10 x\right)+\left(x^{2}+10 x+24\right)+128

Đặt \displaystyle x^{2}+10 x+12=y \quad, đa thức có dạng:

\displaystyle (y-12)(y+12)+128=y^{2}-144+128

\displaystyle =y^{2}-16=(y+4)(y-4)

\displaystyle =\left(x^{2}+10 x+8\right)\left(x^{2}+10 x+16\right)

\displaystyle =(x+2)(x+8)\left(x^{2}+10 x+8\right)

Ví dụ 2:

\displaystyle A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1

Hướng dẫn giải:

Giả sử \displaystyle x \neq 0 ta viết:

\displaystyle x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{2}\left(x^{2}+6 x+7-\frac{6}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)

\displaystyle =x^{2}\left[\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+6\left(x-\frac{1}{x}\right)+7\right]

Đặt \displaystyle x-\frac{1}{x}=y \quad thì \displaystyle x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}+2, do do

\displaystyle A=x^{2}\left(y^{2}+2+6 y+7\right)=x^{2}(y+3)^{2}=(x y+3 x)^{2}

\displaystyle =\left[x\left(x-\frac{1}{x}\right)^{2}+3 x\right]^{2}=\left(x^{2}+3 x-1\right)^{2}

Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đằng thức như sau:

\displaystyle A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{4}+\left(6 x^{3}-2 x^{2}\right)+\left(9 x^{2}-6 x+1\right)

\displaystyle =x^{4}+2 x^{2}(3 x-1)+(3 x-1)^{2}=\left(x^{2}+3 x-1\right)^{2}

Ví dụ 3:

\displaystyleA=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x y+y z+z x)^{2}

Hướng dẫn giải:

\displaystyle A=\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)(x+y+z)^{2}+(x y+y z+z x)^{2}

\displaystyle =\left[\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2(x y+y z+z x)\right]\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+(x y+y z+z x)^{2}

Đặt \displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=a, x y+y z+z x=b \quad ta có

\displaystyle A=a(a+2 b)+b^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}

\displaystyle =\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+x y+y z+z x\right)^{2}

Ví dụ 4:

\displaystyle B=2\left( {{{x}^{4}}+{{y}^{4}}+{{z}^{4}}} \right)-{{\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)}^{2}}-2\left( {{{x}^{2}}} \right.\left. {+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right){{(x+y+z)}^{2}}+{{(x+y+z)}^{4}}

Hướng dẫn giải:

Đặt \displaystyle x^{4}+y^{2}+z^{2}=a, x^{2}+y^{2}+z^{2}=b, x+y+z=c

\displaystyle B=2 a-b^{2}-2 b c^{2}+c^{4}

\displaystyle =2 a-2 b^{2}+b^{2}-2 b c^{2}+c^{4}=2\left(a-b^{2}\right)+\left(b-c^{2}\right)^{2}

Ta lại có: \displaystyle a-b^{2}=-2\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2} \quad\right. ) và b-c^{2}=-2(x y+y z+z x)

Do đó:

\displaystyle B=-4\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right)+4(x y+y z+z x)^{2}

\displaystyle =-4 x^{2} y^{2}-4 y^{2} z^{2}-4 z^{2} x^{2}+4 x^{2} y^{2}+4 y^{2} z^{2}+4 z^{2} x^{2}+8 x^{2} y z+8 x y^{2} z+8 x y z^{2}

\displaystyle =8 x y z(x+y+z)

Ví dụ 5:

(a+b+c)^{3}-4\left(a^{3}+b^{3}+c^{3}\right)-12 a b c

Đặt a+b=m, a-b=n \quad thì 4 a b=m^{2}-n^{2}

\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)\left[(a-b)^{2}+a b\right]=m\left(n^{2}+\frac{m^{2}-n^{2}}{4}\right)

Ta có:

\displaystyle C=(m+c)^{3}-4 \cdot \frac{m^{3}+3 m n^{2}}{4}-4 c^{3}-3 c\left(m^{2}-n^{2}\right)

\displaystyle =3\left(-c^{3}+m c^{2}-m n^{2}+c n^{2}\right)

\displaystyle =3\left[c^{2}(m-c)-n^{2}(m-c)\right]=3(m-c)(c-n)(c+n)

\displaystyle =3(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)

Đại số 8 - Tags: , , ,