Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử có lời giải.

Để phân tích một đa thức thành nhân tử chúng ta thường sử dụng các cách sau:

– Đặt nhân tử chung.
– Dùng hằng đẳng thức.
– Nhóm nhiều hạng tử.
– Tách (hoặc thêm bớt) hạng tử.
– Phương pháp đổi biến (Đặt ẩn phụ).
– Phương pháp nhẩm nghiệm của đa thức.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

Các cách phân tích đa thức thành nhân tử được nêu ra ở trên áp dụng như sau:

1. Phân tích đa thức dạng ax² + bx + c

Muốn phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử. Ta tách hạng tử bx thành b₁x + b₂x như sau:

+ Bước 1: Tìm tích ac.

+ Bước 2: Biến đổi ac thành tích của hai số nguyên bằng mọi cách.

+ Bước 3: Chọn 2 thừa số mà tổng bằng b ⇔ Hai thừa số đó chính là b₁; b₂ .

Ví dụ 1: Phân tích đa thức: 11 – 12x + x² thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

Ta nhẩm trong đầu: ac = 11, a + c = -12 ⇒ b₁ = -11, b₂ = -1 từ đó tách đa thức đã cho như sau:

11 – 12x + x² = x – 11x – x + 11 = x(x-11) – (x-11) = (x-11)(x-11)= (x-11)²

2. Phân tích đa thức F(x) bất kỳ

a. Hướng phân tích thứ nhất

Áp dụng định lý Bơdu để phân tích đa thức F(x) thành nhân tử. Cụ thể ta làm như sau:

+ Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm của F(x) không (a là một trong các ước của hạng tử tự do).

+ Bước 2: Nếu F(a) = 0 thì theo định lý Bơdu ta có:

F(x) = (x – a) P(x)

Để tìm P(x) ta thực hiện phép chia F(x) cho x – a .

+ Bước 3: Tiếp tục phân tích P(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được, sau đó viết kết quả cho hợp lý.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức: F(x) = x³ – x² – 4 thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

Ta thấy 2 là nghiệm của F(x) vì F(2) = 0

Theo hệ quả của định lý Bơdu thì F(x) $\vdots$

x – 2

Tiến hành chia F(x) cho x – 2 ta được F(x) = (x – 2)(x² + x + 2).

b. Hướng phân tích thứ hai

Nếu như hướng 1 không làm được thì ta tiến hành tách các hạng tử đã biết hoặc thêm bớt hoặc đặt ẩn phụ sao cho đa thức xuất hiện các hằng đẳng thức đáng nhớ đã học. Sau đó khéo léo nhóm hạng tử giống nhau.

– Tách hạng tử biến đổi thành các hằng đẳng thức

Ví dụ 3: Phân tích đa thức: $A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1$

thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

$A=x^{4}+6 x^{3}+7 x^{2}-6 x+1=x^{4}+\left(6 x^{3}-2 x^{2}\right)+\left(9 x^{2}-6 x+1\right)$

$=x^{4}+2 x^{2}(3 x-1)+(3 x-1)^{2}=\left(x^{2}+3 x-1\right)^{2}$

– Thêm bớt để phân tích đa thức thành nhân tử:

Ví dụ 4: Phân tích đa thức: x¹¹ + x + 1 thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

Để hạ bậc ta cần thêm bớt x² để xuất hiện hằng đẳng thức bậc 3, ta làm như sau:

x¹¹ + x + 1 = x¹¹ – x² + x² + x + 1 = x²(x⁹ – 1) + (x² + x + 1)

= (x² + x + 1)( x⁹ – x⁸ + x⁶ – x⁵ + x³ – x² + 1)

– Đặt ẩn phụ để phân tích đa thức thành nhân tử:

Ví dụ 5: Phân tích đa thức: $x(x+4)(x+6)(x+10)+128$ thành nhân tử

Hướng dẫn giải:

$x(x+4)(x+6)(x+10)+128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128$

$=\left(x^{2}+10 x\right)+\left(x^{2}+10 x+24\right)+128$

Đặt $x^{2}+10 x+12=y \quad,$ khi đó đa thức có dạng:

$(y-12)(y+12)+128=y^{2}-144+128$

$=y^{2}-16=(y+4)(y-4)$

$=\left(x^{2}+10 x+8\right)\left(x^{2}+10 x+16\right)$

$=(x+2)(x+8)\left(x^{2}+10 x+8\right)$

Các dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bài toán 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a) $\displaystyle {{x}^{3}}+2x$

b) $\displaystyle 3x-6y$

c) $\displaystyle 5\left( {x+3y} \right)-15x\left( {x+3y} \right)$

d) $\displaystyle 3\left( {x-y} \right)-5x\left( {y-x} \right)$

e) $\displaystyle 2x+2y$

f) $\displaystyle 2x+4y-6z$

g) $\displaystyle -2{{x}^{2}}y-4x{{y}^{2}}-6xy$

h) $\displaystyle 3{{a}^{2}}y-6{{a}^{2}}y+12a$

Bài toán 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) $\displaystyle 4{{x}^{2}}-6x$

b) $\displaystyle {{x}^{3}}y-2{{x}^{2}}{{y}^{2}}+5xy$

c) $\displaystyle 2{{x}^{2}}\left( {x+1} \right)+4x\left( {x+1} \right)$

d) $\displaystyle \frac{2}{5}x\left( {y-1} \right)-\frac{2}{5}y\left( {1-y} \right)$

e) $\displaystyle 2{{\left( {x-1} \right)}^{3}}-5{{\left( {x-1} \right)}^{2}}-\left( {x-1} \right)$

f) $\displaystyle x{{\left( {y-x} \right)}^{3}}-y{{\left( {x-y} \right)}^{2}}+xy\left( {x-y} \right)$

g) $\displaystyle xy\left( {x+y} \right)-2x-2y$

h) $\displaystyle x{{\left( {x+y} \right)}^{2}}-y{{\left( {x+y} \right)}^{2}}-{{y}^{2}}\left( {x-y} \right)$

Bài toán 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) $\displaystyle 4{{\left( {2-x} \right)}^{2}}+xy-2y$

b) $\displaystyle x{{\left( {x-y} \right)}^{3}}-y{{\left( {y-x} \right)}^{2}}-{{y}^{2}}\left( {x-y} \right)$

c) $\displaystyle {{x}^{2}}y-x{{y}^{2}}-3x+3y$

d) $\displaystyle x{{\left( {x+y} \right)}^{2}}-y{{\left( {x+y} \right)}^{2}}+xy-{{x}^{2}}$

e) $\displaystyle 3{{a}^{2}}x-3{{a}^{2}}y+abx-aby$

f) $\displaystyle 2a{{x}^{3}}+6a{{x}^{2}}+6ax+18a$

g) $\displaystyle 3a{{x}^{2}}+3b{{x}^{2}}++bx+5a+5b$

h) $\displaystyle 2a{{x}^{2}}-b{{x}^{2}}-2ax+bx+4a-2b$

Bài toán 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) $\displaystyle 8{{x}^{3}}-2x$

b) $\displaystyle 5x-25{{x}^{2}}+\frac{{10}}{9}{{x}^{3}}$

c) $\displaystyle -5{{x}^{3}}\left( {x+1} \right)+x+1$

d) $\displaystyle \frac{{{{x}^{3}}}}{{27}}+\frac{{{{x}^{6}}}}{{729}}-{{x}^{9}}$

e) $\displaystyle x{{\left( {y-x} \right)}^{2}}-{{x}^{2}}+2xy-{{y}^{2}}$

f) $\displaystyle x{{\left( {x-y} \right)}^{2}}-y{{\left( {x-y} \right)}^{2}}+x{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y$

Bài toán 5: Tính hợp lý

a) $\displaystyle 75.20,9+{{5}^{2}}.20,9$

b) $\displaystyle 86.15+150.1,4$

c) $\displaystyle 93.32+14.16$

d) $\displaystyle 98,8.199-990.9,86$

e) $\displaystyle 85.12,7+5.3.12,7$

f) $\displaystyle 8,4.84,5+840.0,155$

g) $\displaystyle 0,78.1300+50.0,5-39$

h) $\displaystyle 0,12.90-110.0,6+36-25.6$

Bài toán 6: Tính giá trị biểu thức:

$\displaystyle A=a\left( {b+3} \right)-b\left( {3+b} \right)$ tại $\displaystyle a=2003$ và $\displaystyle b=1997$

$\displaystyle B={{x}^{2}}-8x-y\left( {8-x} \right)$ tại $\displaystyle x=108$ và $\displaystyle y=-8$

$\displaystyle C=xy\left( {x+y} \right)-2x-2y$ tại $\displaystyle xy=8$ và $\displaystyle x+y=7$

$\displaystyle D={{x}^{5}}\left( {x+2y} \right)-{{x}^{3}}y\left( {x+2y} \right)+{{x}^{2}}{{y}^{2}}\left( {x+2y} \right)$ tại $\displaystyle x=10$ và $\displaystyle y=-5$

Bài toán 7: Tính giá trị biểu thức

$\displaystyle M=x\left( {10-4x} \right)-{{x}^{2}}\left( {2x-5} \right)-2x+5$ tại $\displaystyle x=\frac{5}{2}$

$\displaystyle N={{x}^{2}}\left( {y-1} \right)-5x\left( {1-y} \right)$ tại $\displaystyle x=-20$ và $\displaystyle y=1001$

$\displaystyle P={{y}^{2}}\left( {{{x}^{2}}+y-1} \right)-{{x}^{2}}-y+1$ tại $\displaystyle x=9$ và $\displaystyle y=-80$

$\displaystyle Q=x{{\left( {x-y} \right)}^{2}}-y{{\left( {x-y} \right)}^{2}}+x{{y}^{2}}-{{x}^{2}}y$ tại $\displaystyle x-y=7$ và $\displaystyle xy=9$

$\displaystyle R={{x}^{2}}\left( {x+y} \right)-{{y}^{2}}x-{{y}^{3}}$ tại $\displaystyle x=-2017$ và $\displaystyle y=2017$

$\displaystyle S={{y}^{3}}-3{{y}^{2}}-y\left( {3-y} \right)$ tại $\displaystyle y=13$

Bài toán 8: Tìm x, biết:
a) $\displaystyle 8x\left( {x-2017} \right)-2x+4034=0$ c) $\displaystyle 4-x=2{{\left( {x-4} \right)}^{2}}$

b) $\displaystyle \frac{x}{2}+\frac{{{{x}^{2}}}}{8}=0$ d) $\displaystyle \left( {{{x}^{2}}+1} \right)\left( {x-2} \right)+2x=4$

Bài toán 9: Tìm x, biết:

a) $\displaystyle {{x}^{4}}-16{{x}^{2}}=0$

b) $\displaystyle {{x}^{8}}+36{{x}^{4}}=0$

c) $\displaystyle {{\left( {x-5} \right)}^{3}}-x+5=0$

d) $\displaystyle 5\left( {x-2} \right)-{{x}^{2}}+4=0$

Bài toán 10: Tìm x, biết:

a) $\displaystyle 2-x=2{{\left( {x-2} \right)}^{3}}$

d) $\displaystyle 2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+3+2x=0$

b) $\displaystyle 8{{x}^{3}}-72x=0$

e) $\displaystyle {{x}^{3}}-4x-14x\left( {x-2} \right)=0$

c) $\displaystyle {{\left( {x-1,5} \right)}^{6}}+2{{\left( {1,5-x} \right)}^{2}}=0$

f) $\displaystyle {{x}^{2}}\left( {x+1} \right)-x\left( {x+1} \right)+x\left( {x-1} \right)=0$

Bài toán 11: Chứng minh:

a) $\displaystyle {{25}^{{n+1}}}-{{25}^{n}}$ chia hết cho 100 với $\displaystyle \forall$ số tự nhiên n

b) $\displaystyle {{n}^{2}}\left( {n-1} \right)-2n\left( {n-1} \right)$ chia hết cho 6 với $\displaystyle \forall$ số nguyên n

c) $\displaystyle {{50}^{{n+2}}}-{{50}^{{n+1}}}$ chia hết cho 245 với $\displaystyle \forall$ số tự nhiên n

d) $\displaystyle {{n}^{3}}-n$ chia hết cho 6 với $\displaystyle \forall$ số nguyên n

Đại số 8 - Tags: đa thức, phân tích đa thức, toán 8

Bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

Phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thường dùng. Bài tập phân tích đa thức thành nhân tử có lời giải.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử

1. Phân tích đa thức dạng ax2 + bx + c

2. Phân tích đa thức F(x) bất kỳ

a. Hướng phân tích thứ nhất

b. Hướng phân tích thứ hai

Các dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử

Bất phương trình bậc nhất một ẩn và cách giải

1. Phân tích đa thức dạng ax² + bx + c