Phương pháp dùng vectơ (tích vô hướng của 2 vecto) để chứng minh bất đẳng thức là một phương pháp mới để chứng minh BĐT của Toán THPT.
Cụ thể của phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng vectơ ta dùng bất đẳng thức sau:
Chứng minh BĐT vectơ trên:
Ta có:
Tích vô hướng của 2 vectơ 
với góc giữa 2 vectơ là: Do 
, nên:
![\Leftrightarrow <span class="ql-right-eqno"> </span><span class="ql-left-eqno"> </span><img src="http://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-21bce0183a60d3d9f16cd8cfa8d4ceba_l3.png" height="466" width="629" class="ql-img-displayed-equation quicklatex-auto-format" alt="\[c\text{os}2A+c\text{os}2B+c\text{os}2C\ge -\frac{3}{2}$, đpcm <strong>Bài toán 3: </strong>Chứng minh $ \displaystyle \forall x,y\in $<strong>R</strong>, ta có<strong>: </strong>$ \displaystyle \left| \frac{(x+y)(1-xy)}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2)}}} \right|\le \frac{1}{2}$ (*) <em>Giải</em> Ta có (*) $ \displaystyle \Leftrightarrow \left| \frac{x(1-{{y}^{2}})+y(1-{{x}^{2}})}{(1+{{x}^{2}})(1+{{y}^{2}})} \right|\le \frac{1}{2}$ $ \displaystyle \Leftrightarrow \left| \left( \frac{2x}{1+{{x}^{2}}} \right).\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}} \right)+\left( \frac{2y}{1+{{y}^{2}}} \right).\left( \frac{1-{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right) \right|\le 1$ Đặt: $ \displaystyle \begin{array}{l}\vec{a}=\left( \frac{2x}{1+{{x}^{2}}},\frac{1-{{x}^{2}}}{1+{{x}^{2}}} \right)\\\vec{b}=\left( \frac{1-{{y}^{2}}}{1+{{y}^{2}}},\frac{2y}{1+{{y}^{2}}} \right)\end{array}$ Suy ra : $ \displaystyle \left| {\vec{a}} \right|=\left| {\vec{b}} \right|=1$ Mà $ \displaystyle \left| \vec{a}.\vec{b} \right|\le \left| {\vec{a}} \right|.\left| {\vec{b}} \right|$. Vậy $ \displaystyle \left| \vec{a},\vec{b} \right|\le 1$ (đpcm). <strong>Bài toán 4:</strong> Cho ba số $ \displaystyle x,$ $ \displaystyle y,$ $ \displaystyle z$ thỏa hệ thức $ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}=xy+yz+xz.$ Chứng minh rằng $ \displaystyle {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-(xy+yz+zx)\ge 0.$ <em>Giải</em> Trong không gian với hệ tọa độ Đề-các vuông góc Oxy cho các vectơ : $ \displaystyle \vec{u}=(x,y,z),$ $ \displaystyle \vec{v}=(y,z,x)$ Vì $ \displaystyle \vec{u}.\vec{v}=\left| {\vec{u}} \right|.\left| {\vec{v}} \right|\cos (\vec{u},\vec{v})$ $ \displaystyle \Leftrightarrow $ $ \displaystyle xy+yz+xz=({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}})\cos (\vec{u},\vec{v}).$ Mặt khác ta có $ \displaystyle xy+yz+zx={{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}$ nếu $ \displaystyle \cos (\vec{u},\vec{v})=1$ nghĩa là $ \displaystyle \vec{u}$ và $ \displaystyle \vec{v}$ cùng hướng. Vì $ \displaystyle \left| {\vec{u}} \right|=\left| {\vec{v}} \right|$ do đó $ \displaystyle \vec{u}=\vec{v}$ nghĩa là $ \displaystyle x=y=z$. Do đó ta có: $ \displaystyle 0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-(xy+yz+zx).$ <strong>Bài toán 5</strong>: Cho bốn số thực tùy ý $ {{a}_{1}},{{a}_{2}},{{b}_{1}},{{b}_{2}}$. Chứng minh: $ \sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}+\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}\ge \sqrt{{{({{a}_{1}}+{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+{{b}_{2}})}^{2}}}$ Giải Xét các vectơ:$ \overrightarrow{u}=({{a}_{1}},{{a}_{2}});\overrightarrow{v}=({{b}_{1}},{{b}_{2}})\Rightarrow \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=({{a}_{1}}+{{b}_{1}},{{a}_{2}}+{{b}_{2}})$ Áp dụng :$ \left| \overrightarrow{u} \right|+\left| \overrightarrow{v} \right|\ge \left| \overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \right|$ $ \Rightarrow\]" title="Rendered by QuickLaTeX.com"/> \sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}}+\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}}\ge \sqrt{{{({{a}_{1}}+{{b}_{1}})}^{2}}+{{({{a}_{2}}+{{b}_{2}})}^{2}}}](https://abcdonline.vn/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-e7b18f5bb88eed49050b5f9e13bb6c7e_l3.svg "Rendered by QuickLaTeX.com")
