Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật qua những ví dụ

Sau khi đã học Định nghĩa, tính chất, dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật chúng ta đi chứng minh một tứ giác là hình chữ nhật bằng nhiều cách.

Tùy từng bài toán mà các em áp dụng cách chứng minh phù hợp.

Cách 1: Chứng minh tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ 1: Cho tứ giác ABCD có ∆ABC vuông tại A, ∆BCD vuông tại B, ∆CDA vuông tại C. Tứ giác ABCD là hình gì. Vì sao?

Theo bài ra, ta có:

∆ABC vuông tại A ⇒ Góc BAC = 90°

∆BCD vuông tại B ⇒ Góc CBD = 90°

∆CDA vuông tại C ⇒ Góc DCA = 90°

⇒ Góc ADC = 90° (Tổng 4 góc của một tứ giác bừng 360 độ)

⇒ Tứ giác ABCD là hình chữ nhật do có bốn góc vuông. ( đ.p.c.m )

Cách 2: Chứng minh hình thang cân có một góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ 2: Cho hình thang cân ABCD với AB // CD, giả sử góc D = 90°. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật

Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật qua những ví dụ

Theo giả thiết: Góc D = 90°

Ta có: AB // CD (ABCD là hình thang)

⇒ Góc A + D = 180° (hai góc trong cùng phía)
⇒ Góc A = 90°

Lại có Góc A + Góc C = 180° ⇒ Góc C = 90°

Vậy tứ giác ABCD có 3 góc A = B = C = 90°

⇒ ABCD là Hình chữ nhật. ( đ.p.c.m )

Cách 3: Chứng minh hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật

Ví dụ 3: Cho tam giác ABC vuông cân tại C. Trên cạnh AC, BC lấy lần lượt các điểm P, Q sao cho AP = CQ. Từ điểm P vẽ PM // BC (M thuộc AB). Chứng minh tứ giác PCQM là hình chữ nhật.

Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật qua những ví dụ

Theo bài ra, ta có:

∆ABC vuông tại C ⇒ AC ⊥ BC = > AP ⊥ PM

⇒ ∆APM vuông cân tại P

⇒ AP = PM

Lại có: AP = CQ

Mà PM // CQ

⇒ MNPQ là hình bình hành (1)

Mặt khác: Góc C = 90° (2)

Từ (1) và (2) ⇒ Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật ( đ.p.c.m )

Cách 4: Chứng minh hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau là hình chữ nhật

Ví dụ 4: Cho tam giác ABC cân tại A, các đường trung tuyến BM, CN cắt nhau tại G. Gọi D là điểm đối xứng với B qua M, gọi E là điểm đối xứng với G qua N. Tứ giác BEDC là hình gì? Vì sao?

Cách chứng minh tứ giác là hình chữ nhật qua những ví dụ

Theo bài ra, ta có: G là trọng tâm của ΔABC.

⇒ GB = 2GM và GC = 2GN

Điểm D đối xứng với điểm G qua điểm M
⇒ MG = MD hay GD = 2GM
Suy ra: GB = GD (3)

Điểm E đối xứng với điểm G qua điểm N
⇒ NG = NE hay GE = 2GN
Suy ra: GC = GE (4)

Từ (3) và (4) ⇒ Tứ giác BCDE là Hình bình hành do hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. (5)

Xét ΔBCM và ΔCNB, có:

BC cạnh chung
Góc BCM = CBN (tính chất tam giác cân)
CM = BN (vì AB = AC)

Suy ra: ΔBCM = ΔCBN (c.g.c)

⇒ Góc B1 = C1 ⇒ ΔGBC cân tại G ⇒ GB = GC ⇒ BD = CE (6)

Từ (5) và (6), suy ra: BCDE là hình chữ nhật do là hình bình hành có hai đường chéo bằng nhau. ( đ.p.c.m )

Hình học 8 - Tags: ,