Đề thi vào 10 môn Toán TP Hà Nội 2006-2007

Đề thi môn Toán tuyển sinh vào lớp 10 THPT thành phố Hà Nội, năm học 2006-2007. Thời gian làm bài 120 phút (không kể thời gian giao đề).

Sở giáo dục và đào tạo thành phố Hà Nội. Môn thi Toán.

Bài 1. (2,5 điểm) Cho biểu thức $P=\left[ {\dfrac{{a+3\sqrt{a}+2}}{{(\sqrt{a}+2)(\sqrt{a}-1)}}-\dfrac{{a+\sqrt{a}}}{{a-1}}} \right]:\left( {\dfrac{1}{{\sqrt{a}+1}}+\dfrac{1}{{\sqrt{a}-1}}} \right)$

1. Rút gọn biểu thức $P$

;

2. Tìm $a$

để $\dfrac{1}{P}-\dfrac{{\sqrt{a}+1}}{8}\ge 1$ .

Bài 2. (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.

Một ca nô xuôi dòng trên một khúc sông từ $A$ đến $B$ dài $80~km$ , sau đó lại ngược dòng đến đia điểm $C$ cách bến $B$ $72~km$ . Thời gian ca nô xuôi dòng ít hơn thời gian ngược dòng là 15 phút. Tính vận tốc riêng của ca nô biết vận tốc của dòng nước là $4~km/h$ .

Bài 3. (1,5 điểm) Tìm tọa độ giao điểm $A$ và $B$ của đồ thị hai hàm số $y=2x+3$ và $y=x^{2}$ . Gọi $C$ và $D$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ và $A$ trên trục hoành. Tính diện tích tứ giác $ABCD$ .

Bài 4. (3,0 điểm) Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB=2R,C$ là trung điểm của $OA$ và dây $MN$ vuông góc với $OA$ tại $C$ . Gọi $K$ là điểm tùy ý trên cung nhỏ $BM,H$ là giao điểm của $AK$ và $MN$

1. Chứng minh rằng tứ giác $BCHK$ là tứ giác nội tiếp ;

2. Tính $AH\cdot AK$ theo $R$ ;

3. Xác định vị trí của điểm $K$ để tổng $KM+KN+KB$ đạt giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó.
Bài 5. (0,5 điểm) Cho hai số dương $x,y$ thỏa mãn điều kiện $x+y=2$ . Chứng minh rằng $x^{2}y^{2}\left( {x^{2}+y^{2}} \right)\le 2$