Ví dụ tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn

Hướng dẫn học sinh lớp 9 tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa căn thức qua các ví dụ có lời giải chi tiết.

Đây là dạng toán cơ bản mà học sinh phải nắm vững.

Ghi nhớ

+ Hàm số $\displaystyle \sqrt{A}$

xác định ⇔ $\displaystyle A\ge 0$

+ Hàm phân thức xác định ⇔ mẫu thức khác 0.

Ví dụ

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của x để các biểu thức sau có nghĩa:

a) $\sqrt{-7 x}$

b) $\sqrt{2 x+6}$

c) $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{-4 x+2}}$

Giải:

a) $\displaystyle \sqrt{{-7x}}$ xác định ⇔ $\displaystyle -7x\ge 0\Leftrightarrow x\le 0$

b) $\displaystyle \sqrt{{2x+6}}$ xác định ⇔ $\displaystyle \Leftrightarrow 2x+6\ge 0\Leftrightarrow 2x\ge -6\Leftrightarrow x\ge -3$

c) $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{-4 x+2}}$ xác định

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{1}{{-4\text{x}+2}}\ge 0\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {-4\text{x}+2\ne 0} \\ {-4\text{x}+2\ge 0} \end{array}} \right.$

$\displaystyle \Leftrightarrow -4\text{x}+2>0\Leftrightarrow \text{x}<\frac{1}{2}$

Ví dụ 2: Tìm điều kiện xác định của các biểu thức sau:

a) $\sqrt{(x+2)(x-3)}$

b) $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{x^{4}-16}}$

c) $\displaystyle\sqrt[3]{\frac{x-2}{x+5}}$

Giải:

a) $\displaystyle\sqrt{(x+2)(x-3)}$ xác định

$\displaystyle\Leftrightarrow(x+2)(x-3) \geq 0$

$\displaystyle\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\{\mathrm{x}+2 \geq 0 \\ \mathrm{x}-3 \geq 0 \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}+2 \leq 0 \\ \mathrm{x}-3 \leq 0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x} \geq-2 \\ \mathrm{x} \geq 3\end{array}\right. \\ \mathrm{x} \leq-2 \\ \mathrm{x} \leq 3\end{array}\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\mathrm{x} \geq 3 \\ \mathrm{x} \leq-2\end{array}\right.$

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là $x \geq 3$ hoặc $x \leq-2$ .

b) $\displaystyle\sqrt{\frac{1}{x^{4}-16}}$ xác định

$\displaystyle\Leftrightarrow \frac{1}{x^{4}-16} \geq 0$

$\displaystyle\Leftrightarrow x^{4}-16 \geq 0$

$\Leftrightarrow\left(x^{2}-4\right)\left(x^{2}+4\right) \geq 0$

$\Leftrightarrow(x-2)(x+2)\left(x^{2}+4\right) \geq 0$

$\displaystyle \Leftrightarrow (x-2)(x+2)\ge 0$ (vì $\displaystyle {{{x}^{2}}+4>0}$ )

$\displaystyle\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0 \\ x+2 \geq 0\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}x-2 \leq 0 \\ x+2 \leq 0\end{array}\right.\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}\{x \geq 2 \\ x \geq-2 \\ \left\{\begin{array}{l}x \leq 2 \\ x \leq-2\end{array} \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x \geq 2 \\ x \leq-2\end{array}\right.\right.\end{array}\right.\right.$