Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Dựa vào phương pháp tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật các em vận dụng vào giải các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật.

Đó là các dạng toán sau:

I. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +2² + . . . +2¹⁰⁰ (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +2² + . . .+ 2⁹⁹)

S = 1 + 2(1 + 2 + 2² + . . .+ 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰ – 2¹⁰⁰)

⇒ S = 1 + 2(S – 2¹⁰⁰) = 1+2S – 2¹⁰¹

⇒ S = 2¹⁰¹ – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +2² + . . . 2¹⁰⁰)

⇔ 2S = 2 +2² + 2³ + . . .+ 2¹⁰¹ (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 2² + 2³ + . . . +2¹⁰¹) – (1 +2 +2²  +. . . +2¹⁰⁰)

⇔ S = 2¹⁰¹ – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: 

* Ví dụ 2: Tính:

S = 1 – 2 + 2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰

° Hướng dẫn:– Ta có:

2S = 2(1 – 2 +2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

⇔ 2S = 2 – 2² + 2³ – 2⁴ + 2⁵ – . . . – 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹

⇔ 2S S = (2 – 2² + 2³ – 2⁴ + 2⁵ – . . . – 2¹⁰⁰ + 2¹⁰¹) (1 – 2 + 2² – 2³ + 2⁴ – . . . – 2⁹⁹ + 2¹⁰⁰)

⇔ 3S = 2¹⁰¹ + 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: 

* Ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1+3² + 3⁴ + . . .+ 3⁹⁸ + 3¹⁰⁰ (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 3² rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1+3² + 3⁴ + . . .+ 3⁹⁸ + 3¹⁰⁰

⇔ 3².S = 3²(1 +3² + 3⁴ + . . . +3⁹⁸ + 3¹⁰⁰)

⇔ 9S= 3² + 3⁴ + . . .+ 3¹⁰⁰ + 3¹⁰²  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (3² + 3⁴ + . . . 3¹⁰⁰ + 3¹⁰²) – (1+3² +3⁴ + . . . +3⁹⁸ + 3¹⁰⁰)

⇔ 8S = 3¹⁰² – 1

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a^d . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

* Ví dụ 4: Tính:

S = 1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ . . . +2⁹⁶ – 2⁹⁹ (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 2³ ta được:

2³.S =  2³.(1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ + . . .+ 2⁹⁶ – 2⁹⁹)

⇒ 8S = 2³ – 2⁶ + 2⁹ – 2¹² + . . . +2⁹⁹ – 2¹⁰² (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (2³ – 2⁶ + 2⁹ – 2¹² + . . . +2⁹⁹ – 2¹⁰²) (1 – 2³ + 2⁶ – 2⁹ + . . .+ 2⁹⁶ – 2⁹⁹)

⇔ 9S = 1 – 2¹⁰² 

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Ta nhân cả 2 vế của S_n với a^d . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

II. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

III. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu: 

• Tính chất:

* Ví dụ: Tính tổng: S_n = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: 

– Mặt khác, lại có:

 (theo PP quy nạp ở mục I).

 (theo PP quy nạp ở mục I)

IV. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

a) S = 6 +6² + 6³ + … +6⁹⁹ + 6¹⁰⁰

b) S = 5 +11 +17 … 95 +101

c) 

d) 

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … (3n-2)(3n+1) = n(n+1)²

b) 

• Phương pháp tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Chuyên đề: Bồi dưỡng HSG lớp 6 phần Số học

• Bài tập: Số nguyên – Số học 6

• Một số bài toán tính nhanh và tìm X lớp 6

• Viết tập hợp, viết tập hợp con, sử dụng kí hiệu – Số học 6

• 5 bài toán ôn tập về tập hợp – Số học 6

• Cách giải dạng toán chia hết nâng cao lớp 6