Cách giải dạng toán chia hết nâng cao lớp 6

Đây là bài thứ 3 of 11 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 6
Toán nâng cao lớp 6

Để giải dạng toán chia hết trong chương trình Toán nâng cao lớp 6 các em cần nắm rõ tính chất chia hết, cách phân tích cấu tạo số.

Trước tiên cần nhớ lại dấu hiệu chia hết của một số:

Dấu hiệu chia hết

– Dấu hiệu chia hết cho 2: Những số chẵn có tận cùng là 0; 2; 4; 6; 8.

– Dấu hiệu chia hết cho 3: Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3.

– Dấu hiệu chia hết cho 9: Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9.

– Dấu hiệu chia hết cho 5: Những số chẵn có tận cùng là 0 hoặc 5.

Và ghi nhớ thêm:

Các số hạng cùng chia hết cho 2; 3; 5; 9 thì tổng của các số đó cũng chia hết cho 2; 3; 5; 9. Tức là:

a và b chia hết cho 2; 3; 5; 9 thì a + b cũng chia hết 2; 3; 5; 9

* Chú ý: Điều ngược lại chưa chắc đúng (không được áp dụng).

Phương pháp giải dạng toán chia hết

Ví dụ 1:

a) Chứng minh \displaystyle {{7}^{{14}}}-{{7}^{{13}}}+{{7}^{{12}}}\vdots 43

;  \displaystyle {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10

b) Chứng minh \displaystyle {{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\vdots 7

;  \displaystyle {{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10

c) Chứng minh \overline{{abc}}\vdots 7. Chứng minh 9a + 3b + c chia hết cho 7.

d) Chứng minh rằng: nếu \overline{{abc}}\vdots 99 thì \displaystyle \overline{{ab}}+\overline{{cd}}\vdots 99.

Giải:

a) {{7}^{{14}}}-{{7}^{{13}}}+{{7}^{{12}}}={{7}^{{12}}}({{7}^{2}}-7+1)={{7}^{{12}}}\cdot \,\,43\,\,\vdots \,\,43

{{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5

{{3}^{{201}}}=3\cdot {{3}^{{200}}}=3\cdot {{9}^{{100}}}

Nhận thấy: {{9}^{n}}có tận cùng là 1 nếu n chẵn và tận cùng là 9 nếu n lẻ

\Rightarrow {{9}^{{100}}}có tận cùng là số 1 \Rightarrow 3\cdot {{9}^{{100}}} có tận cùng là 3

b)

Nhận thấy: {{8}^{5}} có tận cùng là 8 \Rightarrow {{8}^{6}}có tận cùng là 4 \Rightarrow {{8}^{5}}\cdot {{8}^{6}}={{8}^{{11}}} có tận cùng là 2

\Rightarrow {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5 có tận cùng là 3 + 2 = 5.

Vậy {{3}^{{201}}}+{{2}^{{33}}}\vdots 5

{{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\vdots 7
\displaystyle \begin{array}{l}{{4}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{({{2}^{2}})}^{{13}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{2}^{{26}}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}\\={{2}^{{23}}}\cdot {{2}^{3}}\cdot {{3}^{{23}}}-{{6}^{{23}}}={{6}^{{23}}}\cdot {{2}^{3}}-{{6}^{{23}}}={{6}^{{23}}}({{2}^{3}}-1)\\={{6}^{{23}}}\cdot \,7\vdots 7\end{array}

{{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}\vdots 10

Nhận thấy: {{9}^{n}} có tận cùng là 1 nếu n chẵn và tận cùng là 9 nếu n lẻ

\Rightarrow {{9}^{{201}}}có tận cùng là 9

{{9}^{{201}}}+{{1}^{{330}}}={{9}^{{201}}}+1 có tận cùng là 10 nên chia hết cho 10.

c)
\begin{array}{l}\overline{{abc}}=100a+10b+c=9a+91a+3b+7b+c\\=(9a+3b+c)+(91a+7b)\end{array}

Do 91a+7b=7\cdot (13a+b)\vdots 7

Nên (9a+3b+c)\vdots 7 (đpcm)

d)
\displaystyle \overline{{abcd}}=100\overline{{ab}}+\overline{{cd}}=99\overline{{ab}}+\left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99

Mà \displaystyle 99\overline{{ab}}\vdots 99\Rightarrow \left( {\overline{{ab}}+\overline{{cd}}} \right)\vdots 99 (đpcm)

Bài 7: Cho \displaystyle A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}

a) Chứng minh rằng: A chia hết cho 3, cho 6

b) Tìm chữ số tận cùng của A.

Giải:

a)

\displaystyle \begin{array}{l}A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}} \right)+\left( {{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\ldots +\left( {{{2}^{{99}}}+{{2}^{{100}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=6+{{2}^{2}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)+{{2}^{4}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)+...+{{2}^{{98}}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}} \right)\\\,\,\,\,\,=6+{{2}^{2}}\cdot 6+{{2}^{4}}\cdot 6+...+{{2}^{{98}}}\cdot 6\\\,\,\,\,\,=6\cdot (1+{{2}^{2}}+{{2}^{4}}+...+{{2}^{{98}}})\vdots 6\end{array}

A chia hết cho 6 nên A chia hết cho 3 và 2.

b)

\displaystyle \begin{array}{l}A=2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}+\ldots \ldots \ldots \ldots +{{2}^{{100}}}\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\left( {{{2}^{5}}+{{2}^{6}}+{{2}^{7}}+{{2}^{8}}} \right)+\ldots +\left( {{{2}^{{97}}}+{{2}^{{98}}}+{{2}^{{99}}}+{{2}^{{100}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+{{2}^{4}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)+\ldots +{{2}^{{96}}}\cdot \left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {2+{{2}^{2}}+{{2}^{3}}+{{2}^{4}}} \right)\cdot \left( {1+{{2}^{4}}+\ldots +{{2}^{{96}}}} \right)\\\,\,\,\,\,=30\cdot \left( {1+{{2}^{4}}+\ldots +{{2}^{{96}}}} \right)\vdots 5\end{array}

A chia hết cho 2 và 5 nên chia hết cho 10.

Vậy A có tận cùng là 0.

Cùng chuyên đề:

<< Sách Toán nâng cao và các chuyên đề Toán 632 bài tập cơ bản và nâng cao Số học 6 có đáp án >>

Số học 6 - Tags: , ,