Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Đây là bài thứ 7 of 11 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 6

Dựa vào phương pháp tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật các em vận dụng vào giải các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật.

Đó là các dạng toán sau:

I. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm

• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+2 +22 + . . . +2100 (*)

° Hướng dẫn:

* Cách 1: Ta viết lại S như sau:

S = 1+ 2(1 +2 +22 + . . .+ 299)

S = 1 + 2(1 + 2 + 22 + . . .+ 299 + 2100 – 2100)

⇒ S = 1 + 2(S – 2100) = 1+2S – 2101

⇒ S = 2101 – 1

* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:

2S = 2(1 +2 +22 + . . . 2100)

⇔ 2S = 2 +22 + 23 + . . .+ 2101 (**)

– Lấy (**) trừ đi (*) ta được:

2S – S = (2 + 22 + 23 + . . . +2101) – (1 +2 +22  +. . . +2100)

⇔ S = 2101 – 1.

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được: Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

* Ví dụ 2: Tính:

S = 1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100

° Hướng dẫn:– Ta có:

2S = 2(1 – 2 +22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 2S = 2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101

⇔ 2S S = (2 – 22 + 23 – 24 + 25 – . . . – 2100 + 2101) (1 – 2 + 22 – 23 + 24 – . . . – 299 + 2100)

⇔ 3S = 2101 + 1.

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi CỘNG vế với vế ta được: Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

* Ví dụ 3: Tính tổng:

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100 (*)

° Hướng dẫn:

– Với bài toán này, mục tiêu là nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử (triệu tiêu) liên tiếp.

– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.

S = 1+32 + 34 + . . .+ 398 + 3100

⇔ 32.S = 32(1 +32 + 34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 9S= 32 + 34 + . . .+ 3100 + 3102  (**)

– Ta Trừ vế với vế của (**) cho (*) được:

9S-S= (32 + 34 + . . . 3100 + 3102) – (1+32 +34 + . . . +398 + 3100)

⇔ 8S = 3102 – 1

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

* Ví dụ 4: Tính:

S = 1 – 23 + 26 – 29 . . . +296 – 299 (*)

° Hướng dẫn:

– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:

23.S =  23.(1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇒ 8S = 23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102 (**)

– Ta CỘNG vế với vế (**) với (*) được:

8S S = (23 – 26 + 29 – 212 + . . . +299 – 2102) (1 – 23 + 26 – 29 + . . .+ 296 – 299)

⇔ 9S = 1 – 2102 Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Tổng quát cho dạng toán này như sau:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Ta nhân cả 2 vế của Sn với ad . Rồi CỘNG vế với vế ta được:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

II. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều

• Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:

– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

 Số số hạng = [(số cuối – số đầu):(khoảng cách)] 1

– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:

Tổng = [(số đầu số cuối).(số số hạng)]:2

* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1+3+5 +7 +… +39

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là: (39-1):2+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(39+1)]:2 = 10.40 = 400.

* Ví dụ 2: Tính tổng: S = 2+5+8+…+59

° Hướng dẫn:

– Số số hạng của S là:(59-2):3+1 = 19+1 = 20.

S = [20.(59+2)]:2 = 10.61 = 610.

III. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết

• Ký hiệu: Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

• Tính chất:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

* Ví dụ: Tính tổng: Sn = 1.2+2.3 +3.4 … n(n+1)

° Hướng dẫn:

– Ta có: Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

– Mặt khác, lại có:

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật (theo PP quy nạp ở mục I).

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật (theo PP quy nạp ở mục I)

Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

IV. Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 8 13 18 … 228

Bài tập 2: Tính các tổng sau:

a) S = 6 +62 + 63 + … +699 + 6100

b) S = 5 +11 +17 … 95 +101

c) Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

d) Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Bài tập 3: Chứng minh

a) 1.4 +4.7 +7.10 … (3n-2)(3n+1) = n(n+1)2

b) Các dạng toán Tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Cùng chuyên đề:

<< Phương pháp tính tổng dãy số lũy thừa có quy luậtMột số bài tập nâng cao Số học 6 >>

Số học 6 - Tags: ,