Cách so sánh hai căn bậc hai – Đại số 9

Bài viết này hướng dẫn học sinh cách so sánh hai căn thức bậc hai bất kì qua các ví dụ có lời giải chi tiết dễ hiểu.

Trong chương trình Đại số 9, các bài tập về so sánh 2 căn bậc 2 nói chung thường ở mức cơ bản, chỉ có một số ít ở dạng nâng cao. Những cách thường dùng là:

a) Cách 1: Tính trực tiếp rồi so sánh

So sánh $\displaystyle\sqrt{16+9}$

và $\displaystyle\sqrt{16}+\sqrt{9}$

. .

Ta có: $\displaystyle\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$

và $\displaystyle\sqrt{16}+\sqrt{9}=4+3=7>5 \Rightarrow \sqrt{16}+\sqrt{9}>\sqrt{16+9}$

b) Cách 2: Đưa thừa số vào trong, ra ngoài căn rồi so sánh

So sánh $2 \sqrt{27}$ và $\displaystyle\sqrt{147}$ . Ta có: $2 \sqrt{27}=\sqrt{108}<\sqrt{147}$

c) Cách 3: Lũy thừa hai vế rồi so sánh

So sánh $\displaystyle\sqrt{2005}+\sqrt{2007}$ và $2 \sqrt{2006}$ :

$(\sqrt{2005}+\sqrt{2007})^{2}=2005+2 \sqrt{2005.2007}+2007=4012+2 \sqrt{2005.2007}$

$(2 \sqrt{2006})^{2}=4.2006=4012+2.2006$

Vì $2005.2007=(2006-1)(2006+1)=2006^{2}-1<2006^{2}$

nên $\displaystyle\sqrt{2005.2007}<2006$ suy ra $(\sqrt{2005}+\sqrt{2007})^{2}<(2 \sqrt{2006})^{2} \Rightarrow \sqrt{2005}+\sqrt{2007}<2 \sqrt{2006}$

d) Cách 4: Nhân liên hợp

So sánh $\displaystyle\sqrt{2005}+\sqrt{2007}$ và $2 \sqrt{2006}$

Xét $\displaystyle\sqrt{2007}-\sqrt{2006}=\frac{(\sqrt{2007}-\sqrt{2006})(\sqrt{2007}+\sqrt{2006})}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}=\frac{1}{\sqrt{2007}+\sqrt{2006}}$

Và $\displaystyle\sqrt{2006}-\sqrt{2005}=\frac{(\sqrt{2006}-\sqrt{2005})(\sqrt{2006}+\sqrt{2005})}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}=\frac{1}{\sqrt{2006}+\sqrt{2005}}$

Vì $\displaystyle \dfrac{1}{{\sqrt{{2006}}+\sqrt{{2005}}}}>\dfrac{1}{{\sqrt{{2007}}+\sqrt{{2006}}}}\Rightarrow \sqrt{{2007}}-\sqrt{{2006}}<\sqrt{{2006}}-\sqrt{{2005}}~\text{ }$

Hay $\displaystyle\sqrt{2005}+\sqrt{2007}<2 \sqrt{2006}$

e) Cách 5: Dùng bất đẳng thức

So sánh $\displaystyle\sqrt[5]{\frac{5}{6}}+\sqrt[7]{\frac{6}{7}}+\sqrt[7]{\frac{7}{5}}$ và 3.

Áp dụng BĐT Cosi: $\displaystyle\sqrt[7]{\frac{5}{6}}+\sqrt[7]{\frac{6}{7}}+\sqrt[7]{\frac{7}{5}} \geq 3 \cdot \sqrt[3]{\sqrt[5]{\frac{5}{6}} \cdot \sqrt[6]{\frac{6}{7}} \cdot \sqrt[7]{\frac{7}{5}}}=3$

Vì $\displaystyle \sqrt[7]{{\dfrac{5}{6}}}\ne \sqrt[7]{{\dfrac{6}{7}}}\ne \sqrt[7]{{\dfrac{7}{5}}}$ nên đẳng thức không xảy ra dấu bằng, suy ra $\displaystyle\sqrt[5]{\frac{5}{6}}+\sqrt[7]{\frac{6}{7}}+\sqrt[7]{\frac{7}{5}}>3$