Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm

Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm được Trung tâm Gia sư Tiến Bộ chia sẻ với bạn đọc.

*Tổng quát: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm: $\displaystyle \dfrac{{a+b}}{2}\ge \sqrt{{ab}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b$

Bất đẳng thức đúng với $a = 0$

hoặc $b = 0$ .

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:

$\displaystyle \dfrac{{a+b}}{2}\ge \sqrt{{ab}}$

⇔ $\displaystyle a+b\ge 2\sqrt{{ab}}$

⇔ $\displaystyle a-2\sqrt{{ab}}+b\ge 0$

⇔ $\displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\ge 0$ (vì $\displaystyle a,b>0$ luôn đúng)

Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ $a, b$ dương (đpcm)

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm: $\displaystyle \dfrac{{a+b+c}}{3}\ge \sqrt[3]{{abc}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c$

Bất đẳng thức đúng với $a = 0$

hoặc $b = 0$ hoặc $c = 0$ .

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương:

Đặt: $\displaystyle x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b},z=\sqrt[3]{c}$

Suy ra: $\displaystyle x,y,z\ge 0$

Suy ra: $\displaystyle x+y+z\ge 0$

Bất đẳng thức được quy về: $\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}\ge 3xyz$

$\displaystyle (x+y)^{3}-3xy(x+y)+z^{3}-3xyz\ge 0$

$\displaystyle (x+y+z)\left[ {\left( {{(x+y)}^{2}-(x+y)z+z^{2}} \right]-3xy(x+y+z)\ge 0} \right.$

$\displaystyle (x+y+z)\left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-xz-yz} \right)-3xy(x+y+z)\ge 0$

$\displaystyle (x+y+z)\left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx} \right)\ge 0$

$(x+y)^{3}-3 x y(x+y)+z^{3}-3 x y z \geq 0$

$(x+y+z)\left[\left((x+y)^{2}-(x+y) z+z^{2}\right]-3 x y(x+y+z) \geq 0\right.$

$(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-x z-y z\right)-3 x y(x+y+z) \geq 0$

$(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right) \geq 0$

$(x+y+z)\left(2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-2 x y-2 y z-2 z x\right) \geq 0$

$(x+y+z)\left[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(x-z)^{2}\right] \geq 0,(\forall x, y, z \geq 0)$

$\displaystyle (x+y+z)\left[ {{(x-y)}^{2}+{(y-z)}^{2}+{(x-z)}^{2}} \right]\ge 0,(\forall x,y,z\ge 0)$

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = z$ tương đương $a = b = c$ .

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm: $\displaystyle \dfrac{{a+b+c+d}}{4}\ge \sqrt[4]{{abcd}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $a = b = c = d$

Bất đẳng thức đúng với $a = 0$

hoặc $b = 0$ hoặc $c = 0$ hoặc $d = 0$ .

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương:

$\displaystyle a+b+c+d\ge 2\sqrt{{ab}}+2\sqrt{{cd}}\ge 4\sqrt[4]{{abcd}}$

$\displaystyle \left( {\dfrac{{a+b+c+d}}{4}} \right)^{4}\ge abcd$

Thay: $\displaystyle d=\dfrac{{a+b+c}}{3}$

Ta được bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm $\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{n}$ : $\displaystyle \dfrac{{x_{1}+x_{2}+x_{3}++x_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{x_{1}x_{2}x_{3}x_{n}}}$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: $\displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{n}$

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương:

$n=2$ thì bất đẳng thức đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với $n$ số thì nó cũng đúng với $2n$ số.

Ta có thể chứng minh đơn giản vì: $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\ge n\sqrt[n]{{x_{1}\cdot x_{2}\ldots x_{n}}}+n\sqrt[n]{{x_{{n+1}}\cdot x_{{n+2}}\ldots x_{{2n}}}}\ge 2n\sqrt[{2n}]{{x_{1}\cdot x_{2}\ldots x_{{2n}}}}$

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với $n$ là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số: $\displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots .+x_{n}\ge n\sqrt[n]{{x_{1}\cdot x_{2}\ldots x_{n}}}$

Chọn: $\displaystyle x_{n}=\dfrac{s}{{n-1}},s=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}$

→ $\displaystyle s\ge (n-1)\sqrt[{n-1}]{{x_{1}\cdot x_{2}\ldots x_{{n-1}}}}$

Đây chính là bất đẳng thức Cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm

Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm được Trung tâm Gia sư Tiến Bộ chia sẻ với bạn đọc.

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương:

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương:

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương:

Cách nhận biết các dạng biểu đồ và cách vẽ biểu đồ môn Địa lý

Cách chứng minh tam giác vuông ở lớp 7, 8, 9

Ứng dụng Cosi ngược dấu chứng minh bất đẳng thức

Tuyển tập một số bài toán bất đẳng thức trong kì thi chuyên Toán 2020

Bài tập trắc nghiệm Toán 6, 7, 8, 9 file word

Bộ đề kiểm tra Ngữ Văn 6, 7, 8, 9 cả năm

Phương pháp giải Phương trình vô định