Chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm

Cách chứng minh bất đẳng thức Cosi cho 2 số, 3 số, 4 số, n số không âm được Trung tâm Gia sư Tiến Bộ chia sẻ với bạn đọc.

*Tổng quát: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân của chúng. Và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau.

1. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a, b không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm: \displaystyle \dfrac{{a+b}}{2}\ge \sqrt{{ab}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức đúng với a = 0

hoặc b = 0.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương:

\displaystyle \dfrac{{a+b}}{2}\ge \sqrt{{ab}}

⇔ \displaystyle a+b\ge 2\sqrt{{ab}}

⇔ \displaystyle a-2\sqrt{{ab}}+b\ge 0

⇔ \displaystyle (\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}\ge 0 (vì \displaystyle a,b>0 luôn đúng)

Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương (đpcm)

2. Chứng minh bất đẳng thức cosi với 3 số thực a, b, c không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm: \displaystyle \dfrac{{a+b+c}}{3}\ge \sqrt[3]{{abc}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức đúng với a = 0

hoặc b = 0 hoặc c = 0.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 3 số dương:

Đặt: \displaystyle x=\sqrt[3]{a},y=\sqrt[3]{b},z=\sqrt[3]{c}

Suy ra: \displaystyle x,y,z\ge 0

Suy ra: \displaystyle x+y+z\ge 0

Bất đẳng thức được quy về: \displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}\ge 3xyz

\displaystyle (x+y)^{3}-3xy(x+y)+z^{3}-3xyz\ge 0

\displaystyle (x+y+z)\left[ {\left( {{(x+y)}^{2}-(x+y)z+z^{2}} \right]-3xy(x+y+z)\ge 0} \right.

\displaystyle (x+y+z)\left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy-xz-yz} \right)-3xy(x+y+z)\ge 0

\displaystyle (x+y+z)\left( {x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx} \right)\ge 0

(x+y)^{3}-3 x y(x+y)+z^{3}-3 x y z \geq 0

(x+y+z)\left[\left((x+y)^{2}-(x+y) z+z^{2}\right]-3 x y(x+y+z) \geq 0\right.

(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+2 x y-x z-y z\right)-3 x y(x+y+z) \geq 0

(x+y+z)\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}-x y-y z-z x\right) \geq 0

(x+y+z)\left(2 x^{2}+2 y^{2}+2 z^{2}-2 x y-2 y z-2 z x\right) \geq 0

(x+y+z)\left[(x-y)^{2}+(y-z)^{2}+(x-z)^{2}\right] \geq 0,(\forall x, y, z \geq 0)

\displaystyle (x+y+z)\left[ {{(x-y)}^{2}+{(y-z)}^{2}+{(x-z)}^{2}} \right]\ge 0,(\forall x,y,z\ge 0)

Dấu “=” xảy ra khi x = y = z tương đương a = b = c.

3. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d không âm

Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm: \displaystyle \dfrac{{a+b+c+d}}{4}\ge \sqrt[4]{{abcd}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

Bất đẳng thức đúng với a = 0

hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0.

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với 4 số dương:

\displaystyle a+b+c+d\ge 2\sqrt{{ab}}+2\sqrt{{cd}}\ge 4\sqrt[4]{{abcd}}

\displaystyle \left( {\dfrac{{a+b+c+d}}{4}} \right)^{4}\ge abcd

Thay: \displaystyle d=\dfrac{{a+b+c}}{3}

Ta được bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương.

4. Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm

Bất đẳng thức Cosi với n số thực không âm \displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},x_{n}: \displaystyle \dfrac{{x_{1}+x_{2}+x_{3}++x_{n}}}{n}\ge \sqrt[n]{{x_{1}x_{2}x_{3}x_{n}}}

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: \displaystyle x_{1}=x_{2}=x_{3}=...=x_{n}

Chứng minh bất đẳng thức Cosi với n số dương:

n=2 thì bất đẳng thức đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với n số thì nó cũng đúng với 2n số.

Ta có thể chứng minh đơn giản vì: \displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}\ge n\sqrt[n]{{x_{1}\cdot x_{2}\ldots x_{n}}}+n\sqrt[n]{{x_{{n+1}}\cdot x_{{n+2}}\ldots x_{{2n}}}}\ge 2n\sqrt[{2n}]{{x_{1}\cdot x_{2}\ldots x_{{2n}}}}

Theo quy nạp thì bất đẳng thức đúng với n là một lũy thừa của 2.

Mặt khác giả sử bất đẳng thức đúng với n số thì ta cũng chứng minh được nó đúng với n – 1 số như sau:

Theo bất đẳng thức cosi cho n số: \displaystyle x_{1}+x_{2}+\ldots .+x_{n}\ge n\sqrt[n]{{x_{1}\cdot x_{2}\ldots x_{n}}}

Chọn: \displaystyle x_{n}=\dfrac{s}{{n-1}},s=x_{1}+x_{2}+\ldots +x_{n}

→ \displaystyle s\ge (n-1)\sqrt[{n-1}]{{x_{1}\cdot x_{2}\ldots x_{{n-1}}}}

Đây chính là bất đẳng thức Cosi (n-1) số. Như vậy ta có đpcm.

Kiến thức THCS - Tags: ,