Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lí 1. Giả sử hàm số y=f(x)

có đạo hàm tại điểm {{x}_{0}}, Khi đó, nếu y=f(x) đạt cực trị tại {{x}_{0}} thì f'({{x}_{0}})=0. Điều ngược lại không đúng

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 2.

Giả sử hàm số y=f(x)

liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm {{x}_{0}} và có đạo hàm trên các khoảng (a;{{x}_{0}})\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }({{x}_{0}};b) (Có thể không có đạo hàm tại {{x}_{0}}) Khi đó :

– Nếu {f}'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x qua điểm {{x}_{0}}

thì hàm số đạt cực tiểu tại {{x}_{0}}

– Nếu {f}'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x qua điểm {{x}_{0}}

thì hàm số đạt cực đại tại {{x}_{0}}

Minh họa bằng đồ thị

Hàm số \displaystyle f đạt cực đại tại \displaystyle x=c

Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Hàm số \displaystyle f đạt cực tiểu tại \displaystyle x=c

Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị-1

Định lí 3.

Giả sử hàm số y=f(x)

có đạo hàm trên khoảng (a,b) chứa điểm {{x}_{0}}, (Phải có đạo hàm tại {{x}_{0}}) f'({{x}_{0}})=0 và f''({{x}_{0}})\ne 0. Khi đó:

– Nếu f''({{x}_{0}})<0 thì hàm số đạt cực đại tại điểm {{x}_{0}}

.

– Nếu f''({{x}_{0}})>0 thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm {{x}_{0}}

. Giải tích 12 - Tags: , ,