Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

1. Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Định lí 1. Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm tại điểm ${{x}_{0}}$ , Khi đó, nếu $y=f(x)$ đạt cực trị tại ${{x}_{0}}$ thì $f'({{x}_{0}})=0$ . Điều ngược lại không đúng

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

Định lí 2.

Giả sử hàm số $y=f(x)$ liên tục trên khoảng (a,b) chứa điểm ${{x}_{0}}$ và có đạo hàm trên các khoảng $(a;{{x}_{0}})\text{ v }\!\!\grave{\mathrm{a}}\!\!\text{ }({{x}_{0}};b)$ (Có thể không có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ ) Khi đó :

– Nếu ${f}'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ qua điểm ${{x}_{0}}$ thì hàm số đạt cực tiểu tại ${{x}_{0}}$

– Nếu ${f}'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua điểm ${{x}_{0}}$ thì hàm số đạt cực đại tại ${{x}_{0}}$

Minh họa bằng đồ thị

Hàm số $\displaystyle f$ đạt cực đại tại $\displaystyle x=c$

Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị

Hàm số $\displaystyle f$ đạt cực tiểu tại $\displaystyle x=c$

Điều kiện cần và đủ để hàm số có cực trị-1

Định lí 3.

Giả sử hàm số $y=f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(a,b)$ chứa điểm ${{x}_{0}}$ , (Phải có đạo hàm tại ${{x}_{0}}$ ) $f'({{x}_{0}})=0$ và $f''({{x}_{0}})\ne 0$ . Khi đó: