Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki

Đổi biến là một kỹ thuật thường dùng khi sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki giải quyết các bài toán chứng minh BĐT khó.

Có một số bất đẳng thức, nếu ta để nguyên dạng phát biểu của nó thì rất khó để phát hiện ra cách chứng minh. Tuy nhiên bằng một số phép đổi biến nho nhỏ ta có thể đưa chúng về dạng quan thuộc mà bất đẳng thức Bunhiacopxki có thể áp dụng được. Trong mục này chúng ta cùng tìm hiểu kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki.

Với bất đẳng thức ba biến a, b, c ta có thể sử dụng một số phép biến đổi như:

1) \displaystyle {\left( {a;b;c} \right)\to \left( {\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}} \right);\left( {\frac{1}{{xy}};\frac{1}{{yz}};\frac{1}{{zx}}} \right);\left( {\frac{1}{{\sqrt{{xy}}}};\frac{1}{{\sqrt{{yz}}}};\frac{1}{{\sqrt{{zx}}}}} \right);...}

2) \displaystyle {\left( {a;b;c} \right)\to \left( {yz;zx;xy} \right);\left( {\sqrt{{yz}};\sqrt{{zx}};\sqrt{{xy}}} \right);...}

3) \displaystyle {\left( {a;b;c} \right)\to \left( {y+z;z+x;x+y} \right);\left( {y+z-x;z+x-y;x+y-z} \right);...}

Với một số bất đẳng thức có giả thiết là \displaystyle abc=1 ta có thể đổi biến:

1) \displaystyle {\left( {a;b;c} \right)\to \left( {\frac{1}{x};\frac{1}{y};\frac{1}{z}} \right);\left( {\frac{1}{{\sqrt{x}}};\frac{1}{{\sqrt{y}}};\frac{1}{{\sqrt{z}}}} \right);...}

2) \displaystyle {\left( {a;b;c} \right)\to \left( {\frac{x}{y};\frac{y}{z};\frac{z}{x}} \right);\left( {\frac{b}{a};\frac{c}{b};\frac{a}{c}} \right);\left( {\sqrt{{\frac{x}{y}}};\sqrt{{\frac{y}{z}}};\sqrt{{\frac{z}{x}}}} \right);...}

3) \displaystyle {\left( {a;b;c} \right)\to \left( {\frac{{yz}}{{{{x}^{2}}}};\frac{{zx}}{{{{y}^{2}}}};\frac{{ab}}{{{{z}^{2}}}}} \right);\left( {\frac{{{{x}^{2}}}}{{yz}};\frac{{{{y}^{2}}}}{{zx}};\frac{{{{z}^{2}}}}{{xy}}} \right);...}

4) \displaystyle {\left( {a;b;c} \right)\to \left( {\frac{{\sqrt{{yz}}}}{x};\frac{{\sqrt{{zx}}}}{y};\frac{{\sqrt{{xy}}}}{z}} \right);\left( {\frac{x}{{\sqrt{{yz}}}};\frac{y}{{\sqrt{{zx}}}};\frac{z}{{\sqrt{{xy}}}}} \right);...}

Ví dụ áp dụng kỹ thuật đổi biến:

Kỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức BunhiacopxkiKỹ thuật đổi biến trong bất đẳng thức Bunhiacopxki

Kiến thức THCS - Tags: , ,