Bất đẳng thức Bunhiacopxki và các kỹ thuật thường dùng

Đây là bài thứ 14 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức

Bất đẳng thức Bunhiacopxki được sử dụng rất nhiều trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức ở bậc trung học cơ sở.

Ở bài viết này Gia sư Tiến Bộ chia sẻ các dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản hay dùng và đặc biệt.

1) Các dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki cơ bản:

Cho hai dãy số tùy ý $\displaystyle {{a}_{1}};\,\,{{a}_{2}};\,\,{{a}_{3}};\,\,...;\,\,{{a}_{n}}$

và $\displaystyle {{b}_{1}};\,\,{{b}_{2}};\,\,{{b}_{3}};\,\,...;\,\,{{b}_{n}}$

. Khi đó ta có:

Dạng 1: $\displaystyle \left( {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}} \right)\left( {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}} \right)\ge {{\left( {{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}}} \right)}^{2}}$

Dạng 2: $\displaystyle \sqrt{{\left( {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}} \right)\left( {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}} \right)}}\ge \left| {{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}}} \right|$

– Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 1 và dạng 2 là: $\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{b}_{2}}}}=...=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}$

Dạng 3: $\displaystyle \sqrt{{\left( {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+...+a_{n}^{2}} \right)\left( {b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+...+b_{n}^{2}} \right)}}\ge {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+...+{{a}_{n}}{{b}_{n}}$

– Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 3 là: $\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{b}_{1}}}}=\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{b}_{2}}}}=...=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{b}_{n}}}}\ge 0$

Dạng 4: Cho hai dãy số tùy ý $\displaystyle {{a}_{1}};\,\,{{a}_{2}};\,\,\,...;\,\,{{a}_{n}}$ và $\displaystyle {{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}};\,\,...;\,\,{{x}_{n}}$ với $\displaystyle {{x}_{1}};\,\,{{x}_{2}};\,\,...;\,\,{{x}_{n}}>0$

Khi đó ta có:

$\displaystyle \frac{{a_{1}^{2}}}{{{{x}_{1}}}}+\frac{{a_{2}^{2}}}{{{{x}_{2}}}}+...+\frac{{a_{n}^{2}}}{{{{x}_{n}}}}\ge \frac{{{{{\left( {{{a}_{1}}+{{a}_{2}}+...+{{a}_{n}}} \right)}}^{2}}}}{{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}+...+{{x}_{n}}}}$

– Dấu đẳng thức xảy ra ở dạng 4 là: $\displaystyle \frac{{{{a}_{1}}}}{{{{x}_{1}}}}=\frac{{{{a}_{2}}}}{{{{x}_{2}}}}=...=\frac{{{{a}_{n}}}}{{{{x}_{n}}}}\ge 0$

Trong các dạng trên thì bất đẳng thức dạng 1, dạng 2, dạng 3 gọi là các bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng cơ bản và bất đẳng thức dạng 4 còn được gọi là bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.

2) Các dạng bất đẳng thức Bunhiacopxki đặc biệt:

$\displaystyle n=2$	$\displaystyle n=3$
$\displaystyle \left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)\ge {{\left( {\text{ax}+by} \right)}^{2}}$	$\displaystyle \left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)\ge {{\left( {ay+by+cz} \right)}^{2}}$
$\displaystyle \sqrt{{\left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}}\ge \left\| {\text{ax}+by} \right\|$	$\displaystyle \sqrt{{\left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)}}\ge \left\| {ay+by+cz} \right\|$
$\displaystyle \sqrt{{\left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right)}}\ge \text{ax}+by$	$\displaystyle \sqrt{{\left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \right)\left( {{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}} \right)}}\ge ay+by+cz$
$\displaystyle \frac{{{{a}^{2}}}}{x}+\frac{{{{b}^{2}}}}{y}\ge \frac{{{{{\left( {a+b} \right)}}^{2}}}}{{x+y}}$ $\displaystyle \left( {x,\,\,y>0} \right)$	$\displaystyle \frac{{{{a}^{2}}}}{x}+\frac{{{{b}^{2}}}}{y}+\frac{{{{c}^{2}}}}{z}\ge \frac{{{{{\left( {a+b+c} \right)}}^{2}}}}{{x+y+z}}$ $\displaystyle \left( {x,\,\,y>0} \right)$
Đẳng thức xảy ra khi $\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{b}{y}$	Đẳng thức xảy ra khi $\displaystyle \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$