Phương pháp tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật

Đây là bài thứ 6 of 11 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 6

Cách tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật bằng các phương pháp quy nạp, khử liên tiếp qua các dạng bài tập có ví dụ minh họa.

Trong chương trình Toán nâng cao lớp 6 có nhiều dạng toán khó và tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật là một trong số đó. Phương pháp hay sử dụng là:

I. Phương pháp quy nạp

– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:

S_n = a₁ + a₂ + . . . +a_n (*)

khi mà ta có thể biết được kết quả (đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả), thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.

* Ví dụ: Tính tổng S_n = 1 +3 +5 +. . . +(2n -1)

° Hướng dẫn: (sử dụng phương pháp quy nạp)

– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S₁ = (2.1 – 1) = 1

Thử với n = 2, ta có: S₂ = (2.1 – 1) (2.2 – 1) = 1 +3 = 4 = 2²

Thử với n= 3, ta có: S₃ = (2.1 – 1) (2.2 – 1) (2.3 – 1)= 1 +3 +5 = 9 = 3²

… … …

– Ta dự đoán: S_n = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n²

• Phương pháp quy nạp: S_n = 1 +3 +5 . . . (2n -1) = n²(*)

Với n = 1; S₁ = 1 (đúng)

Giả sử đúng với n = k (k≠1), tức là:

S_k =1 +3 +5 . . . (2k -1) = k² (1)

Ta cần chứng minh (*) đúng với n = k +1, tức là:

S_{k +1} = 1 +3 +5 . . . (2k-1) (2k +1) = (k +1)²

Vì ta đã giải sử S_k đúng nên ta đã có (1), từ đây ta biến đổi để xuất hiện (2), (1) còn được gọi là giải thiết quy nạp.

1 +3 +5 . . . +(2k -1) = k²

1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k² (2k +1) (cộng 2k+ 1 vào 2 vế).

Từ đó ⇒ 1 +3 +5 . . .+ (2k-1) + (2k +1) = k² + 2k +1 = (k +1)²

• Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:

1) $\displaystyle {{S}_{n}}=1+2+3+\ldots +n=\frac{{n(n+1)}}{2};\forall n\in \mathbb{N}$

2) $\displaystyle {{S}_{n}}={{1}^{2}}+{{2}^{2}}+{{3}^{2}}+\ldots +{{n}^{2}}=\frac{{n(n+1)(2n+1)}}{6}$

3) $\displaystyle {{S}_{n}}={{1}^{3}}+{{2}^{3}}+{{3}^{3}}+\ldots +{{n}^{3}}=\frac{{{{n}^{2}}{{{(n+1)}}^{2}}}}{4}$

4) $\displaystyle {{S}_{n}}={{1}^{5}}+{{2}^{5}}+\ldots +{{n}^{5}}=\frac{1}{{12}}\cdot {{n}^{2}}{{(n+1)}^{2}}\cdot \left( {2{{n}^{2}}+2n-1} \right)$

II. Sử dụng phương pháp khử liên tiếp tính tổng dãy số

– Giả sử cần tính tổng: S_n = a₁ a₂ . . . a_n (*) mà ta có thể biểu diễn a_i, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:

a₁ = b₁ – b₂

a₂ = b₂ – b₃

… … …

a_n = b_n – b_{n +1}

⇒ Khi đó ta có: S_n = (b₁ – b₂₎ (b₂ – b₃) … (b_n – b_{n +1}) = b₁ – b_{n +1}

* Ví dụ 1: Tính tổng: