Cách giải phương trình bậc cao – Bồi dưỡng Toán 9

Đây là bài thứ 2 of 14 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 9

Phương pháp chung để giải phương trình bậc cao là đưa về dạng phương trình tích hoặc dùng cách đặt ẩn phụ để giải.

Bài tập giải phương trình bậc cao là dạng bài tập khó, nâng cao trong chương trình Toán lớp 9. Vì vậy, câu giải PT bậc cao được đặt làm câu cuối trong đề thi học kì phân loại học lực của học sinh khá giỏi, có thể cho trong đề thi học sinh giỏi Toán 9, đề thi vào 10 chuyên.

Phương pháp giải phương trình bậc cao

Cách giải PT bậc cao dựa vào từng dạng bài cụ thể:

Phương trình trùng phương

Có dạng: $a x^{4}+b x^{2}+c=0$

Cách giải: Để giải phương trình này ta đặt ẩn phụ: $y=x^{2}$

Phương trình bậc bốn dạng: $(x+a)^{4}+(x+b)^{4}=c$

Cách giải: Để giải phương trình dạng này ta đặt ẩn phụ: $\displaystyle y=x+\frac{a+b}{2}$ .

Phương trình bậc bốn dạng đối xứng

$a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+b x+a=0$ (phương trình đối xứng).

Cách giải: Để giải phương trình này ta đặt ẩn phụ: $\displaystyle y=x+\frac{1}{x}$ .

Các ví dụ giải PT bậc cao

Ví dụ 1. Giải phương trình:

$3 x^{4}+2 x^{3}-34 x^{2}+2 x+3=0$ (1)

Giải:

Phương trình trên là phương trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng).

Hiển nhiên $x = 0$ không là nghiệm của phương trình (1). Chia hai vế của phương trình (1) cho $\displaystyle {{x}^{2}}$ ta được:

$\displaystyle 3 x^{2}+2 x-34+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}=0$

⇔ $\displaystyle 3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+2\left(x+\frac{1}{x}\right)-34=0$

Đặt $\displaystyle x+\frac{1}{x}=y$ thì $x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}-2,$ ta có:

$\displaystyle 3\left( {{{y}^{2}}-2} \right)+2y-34=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+2y-40=0$

$\displaystyle \Leftrightarrow y_{1}=-4 ; y_{2}=\frac{10}{3}$

Với $y=-4$ thì $\displaystyle x+\frac{1}{x}=-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+1=0\Leftrightarrow {{x}_{{1,2}}}=-2\pm \sqrt{3}$

Với $\displaystyle y=\frac{10}{3}$ thì $\displaystyle x+\frac{1}{x}=\frac{{10}}{3}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-10x+3=0\Leftrightarrow {{x}_{3}}=\frac{1}{3};{{x}_{4}}=3$