Cách giải phương trình bậc cao – Bồi dưỡng Toán 9

Đây là bài thứ 2 of 14 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 9

Phương pháp chung để giải phương trình bậc cao là đưa về dạng phương trình tích hoặc dùng cách đặt ẩn phụ để giải.

Bài tập giải phương trình bậc cao là dạng bài tập khó, nâng cao trong chương trình Toán lớp 9. Vì vậy, câu giải PT bậc cao được đặt làm câu cuối trong đề thi học kì phân loại học lực của học sinh khá giỏi, có thể cho trong đề thi học sinh giỏi Toán 9, đề thi vào 10 chuyên.

Phương pháp giải phương trình bậc cao

Cách giải PT bậc cao dựa vào từng dạng bài cụ thể:

Phương trình trùng phương

Có dạng: a x^{4}+b x^{2}+c=0

Cách giải: Để giải phương trình này ta đặt ẩn phụ: y=x^{2}

Phương trình bậc bốn dạng: (x+a)^{4}+(x+b)^{4}=c

Cách giải: Để giải phương trình dạng này ta đặt ẩn phụ: \displaystyle y=x+\frac{a+b}{2}.

Phương trình bậc bốn dạng đối xứng

a x^{4}+b x^{3}+c x^{2}+b x+a=0 (phương trình đối xứng).

Cách giải: Để giải phương trình này ta đặt ẩn phụ: \displaystyle y=x+\frac{1}{x}.

Các ví dụ giải PT bậc cao

Ví dụ 1. Giải phương trình:

3 x^{4}+2 x^{3}-34 x^{2}+2 x+3=0 (1)

Giải:

Phương trình trên là phương trình đối xứng (các hệ số có tính đối xứng).

Hiển nhiên x = 0 không là nghiệm của phương trình (1). Chia hai vế của phương trình (1) cho \displaystyle {{x}^{2}} ta được:

\displaystyle 3 x^{2}+2 x-34+\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}=0

\displaystyle 3\left(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}\right)+2\left(x+\frac{1}{x}\right)-34=0

Đặt \displaystyle x+\frac{1}{x}=y thì x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=y^{2}-2, ta có:

\displaystyle 3\left( {{{y}^{2}}-2} \right)+2y-34=0\Leftrightarrow 3{{y}^{2}}+2y-40=0

\displaystyle \Leftrightarrow y_{1}=-4 ; y_{2}=\frac{10}{3}

Với y=-4 thì \displaystyle x+\frac{1}{x}=-4\Leftrightarrow {{x}^{2}}+4x+1=0\Leftrightarrow {{x}_{{1,2}}}=-2\pm \sqrt{3}

Với \displaystyle y=\frac{10}{3} thì \displaystyle x+\frac{1}{x}=\frac{{10}}{3}\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-10x+3=0\Leftrightarrow {{x}_{3}}=\frac{1}{3};{{x}_{4}}=3

Phương trình có bốn nghiệm: \displaystyle -2 \pm \sqrt{3} ; \frac{1}{3} ; 3

*Chú ý:

a) Trong phương trình đối xứng, nếu a là nghiệm thì \displaystyle \frac{1}{a} cũng là nghiệm.

b) Phương trình đối xứng bậc lẻ bao giờ cũng có một trong các nghiệm là x = -1.

c) Phương trình đối xứng bậc chẵn 2n được đưa về phương trình bậc n bằng cách đặt ẩn phụ \displaystyle y=x+\frac{1}{x}.

Ví dụ 2. Giải phương trình: (12x - 1)(6x - 1)(4x - 1)(3x - 1) = 330.

Giải

Trước hết ta biến đổi phương trình để hệ số của x trong các dấu ngoặc đều bằng nhau :

Nhân các thừa số ở vế trái theo thứ tự với 2, 3, 4.

(12x - 1)(12x - 2)(12x - 3) (12x - 4) - 330.2.3.4

Đặt 12x - 3 = y, ta có:

\displaystyle (y+2)(y+1)y(y-1)=7920\Leftrightarrow \left( {{{y}^{2}}+y-2} \right)\left( {{{y}^{2}}+y} \right)=7920

Lại đặt: y^{2}+y-1=X, ta có

(X-1)(X+1)=7920<=>X^{2}-1=7920

\displaystyle \Leftrightarrow {{X}^{2}}=7921\Leftrightarrow X=\pm 89

+ Với X=89 thì \displaystyle {{y}^{2}}+y-1=89\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y-90=0<\Rightarrow {{y}_{1}}=9;{{y}_{2}}=-10

+ Với X=-89 thì \displaystyle {{y}^{2}}+y-1=-89\Leftrightarrow {{y}^{2}}+y+88=0, vô nghiệm.

+ Trường hợp y=9, ta có 12 x-3=9 nên x=1

+ Trường hợp y=-10, ta có 12 x-3=-10 nên x=-\frac{7}{12}

Phương trình có hai nghiệm là x=1x=-\frac{7}{12}

Bài tập tự giải

1. Giải các phương trình:

a) x^{8}-17 x^{4}+16=0

b) x^{6}-3 x^{3}+2=0

c) x^{3}\left(x^{3}+4\right)=5

d ) x^{4}-a(a+1) x^{2}+a^{3}=0(a>0)

2. Giải các phương trình:

a) 3 x^{3}-13 x^{2}+13 x-3=0

b) x^{4}-5 x^{3}+8 x^{2}-5 x+1=0

c) x^{4}-7 x^{3}+8 x^{2}+7 x+1=0

3. Giải các phương trình:

a) x^{4}-x^{2}+2 x-1=0

b) x^{4}-9 x^{2}+24 x-16=0

c) x^{4}-2 x^{2}+1=-4 x^{2}+8 x-4

d) (x-2)^{3}+(x+1)^{3}=8 x^{3}-1

Cùng chuyên đề:

<< 268 bài tập nâng cao Đại số 9 có lời giải17 chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 9 – Đặng Thành Nam >>

Đại số 9 - Tags: , ,