Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn

Đây là bài thứ 2 of 25 trong chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Hướng dẫn học sinh lớp 9 làm câu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau khi rút gọn qua các cách có ví dụ minh họa.

Tìm giá trị lớn nhất hoặc giá trị nhỏ nhất của biểu thức thi thoảng xuất hiện trong câu cuối của bài 1 trong đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán.

Cách thường sử dụng áp dụng với từng dạng biểu thức:

a) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất biểu thức A=\sqrt{x-a}+\sqrt{b-x}

Phương pháp: Điều kiện rồi bình phương hai vế, sau đó sử dụng Cosi:

Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của biểu thức A=\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x}

Điều kiện: 4 \leq x \leq 10 .


Ta có: A^{2}=(\sqrt{x-4}+\sqrt{10-x})^{2}=x-4+2 \sqrt{(x-4)(10-x)}+10-x=6+2 \sqrt{(x-4)(10-x)}

\sqrt{(x-4)(10-x)} \geq 0 nên A^{2} \geq 6

Suy ra A \geq \sqrt{6}. Vậy A \mathrm{~min}=\sqrt{6} khi \sqrt{(x-4)(10-x)}=0 suy ra \left[\begin{array}{l}x=4 \\ x=10\end{array}\right..

2 \sqrt{(x-4)(10-x)} \leq x-4+10-x=6 (BDT Cosi 2 \sqrt{a b} \leq a+b)

Suy ra A^{2}=6+2 \sqrt{(x-4)(10-x)} \leq 12 \Rightarrow A \leq \sqrt{12}

Vậy \max A=\sqrt{12} khi x-4=10-x \Leftrightarrow x=7

b) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng cách sử dụng hằng đẳng thức số 1 và số 2:

\left\{\begin{array}{l}(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ (a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\end{array}\right.

Ví dụ: Tìm GTLN của A=\sqrt{x}-x . Ta có: A=\frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2}

\mathrm{Vi}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2} \geq 0 \quad \forall x \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{4}-\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^{2} \leq \frac{1}{4} .

Dấu bằng xảy ra khi \sqrt{x}-\frac{1}{2}=0 \Leftrightarrow x=\frac{1}{4}

Vậy max \ A=\frac{1}{4} khi x=\frac{1}{4}.

Chú ý với biểu thức: A=x+2 \sqrt{x}+4 : Các em chỉ cần đánh giá:

x \geq 0 \Rightarrow x+2 \sqrt{x} \geq 0 \Rightarrow A=x+2 \sqrt{x}+4 \geq 4

c) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng phương pháp đánh giá

Thường dùng khi tử số là hằng số

Ví dụ: Tìm GTNN của A=\frac{10}{3-2 \sqrt{x}} .

Ta có: \sqrt{x} \geq 0 \forall x \geq 0 \Rightarrow 3-2 \sqrt{x} \leq 3

\Rightarrow A=\frac{10}{3-2 \sqrt{x}} \geq \frac{10}{3} .

Dấu bằng xảy ra khi x=0 .

Vậy min \ A=\frac{10}{3} \Leftrightarrow x=0

d) Tìm giá trị lớn nhất – Giá trị nhỏ nhất bằng cách thực hiện phép chia rồi đánh giá

Thường dùng khi tử số và mẫu số cùng bậc

Ví dụ: Tìm GTNN của A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+6} .

Ta có: A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+6}=1-\frac{5}{\sqrt{x}+6}

\sqrt{x} \geq 0 \forall x \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x}+6 \geq 6 \Rightarrow \frac{5}{\sqrt{x}+6} \leq \frac{5}{6} \Rightarrow 1-\frac{5}{\sqrt{x}+6} \geq 1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}.

Dấu bằng xảy ra khi x=0. Vậy \min A=\frac{1}{6} \Leftrightarrow x=0

e) Phương pháp chia (tách) rồi sử dụng BĐT Cosi:

Thường dùng khi bậc tử lớn hơn bậc mẫu

Ví dụ: Tìm GTNN của A=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3} .

Ta có: A=\frac{x+7}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{16}{\sqrt{x}+3}=(\sqrt{x}+3)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6

Áp dụng BĐ T Cosi cho hai số (\sqrt{x}+3) ; \frac{16}{\sqrt{x}+3}

(\sqrt{x}+3)+\frac{16}{\sqrt{x}+3} \geq 2 \sqrt{(\sqrt{x}+3) \cdot \frac{16}{\sqrt{x}+3}}=8 \Rightarrow(\sqrt{x}+3)+\frac{16}{\sqrt{x}+3}-6 \geq 2

Dấu bằng xảy ra khi (\sqrt{x}+3)=\frac{16}{\sqrt{x}+3} \Leftrightarrow(\sqrt{x}+3)^{2}=16 \Leftrightarrow x=1

f) Tìm x ∈ N , x ∈ Z để biểu thức đạt GTNN – GTLN:

Ví dụ: Tìm x \in \mathbb{N} để A=\frac{3}{\sqrt{x}-2} đạt GTLN – GTNN

Điều kiện: x \in \mathbb{N}, x \neq 4.

Nếu 0 \leq x<4 \Rightarrow A<0, nếu x>4 \Rightarrow A>0.

Như vậy A đạt GTLN khi x>4 và A đạt GTNN khi 0 \leq x<4.

+ Tìm giá trị lớn nhất: Để A=\frac{3}{\sqrt{x}-2} đạt GTLN thì \sqrt{x}-2 đạt giá trị nhỏ nhất, mà x>4; x \in \mathbb{N} \Rightarrow x=5

Vậy max \ A=\frac{3}{\sqrt{5}-2}=6+3 \sqrt{5} \Leftrightarrow x=5.

+ Tìm giá trị nhỏ nhất: Để A=\frac{3}{\sqrt{x}-2} đạt GTN thì \sqrt{x}-2 đạt GTLN, mà 0 \leq x<4x \in \mathbb{N} \Rightarrow x=3

nên max \ (\sqrt{x}-2)=\sqrt{3}-2 suy ra min \ A=\frac{3}{\sqrt{3}-2} \Leftrightarrow x=3.

Cùng chuyên đề:

<< Cách rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai – Toán 9Đồ thị hàm số bậc nhất và bậc hai >>

Đại số 9 - Tags: , ,