Cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Đây là bài thứ 7 of 25 trong chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Hướng dẫn học sinh lớp 9 cách tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng bằng hệ quả định lý Vi-ét.

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của Phương trình :

$\displaystyle {{x}^{2}}-Sx+P=0$

(Điều kiện để có hai số đó là S² – 4P ≥ 0 )

Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = -3 và tích P = ab = -4

Vì a + b = -3 và ab = -4 nên a, b là nghiệm của Phương trình : $\displaystyle {{x}^{2}}+3x-4=0$

giải Phương trình trên ta được $\displaystyle {{x}_{{^{1}}}}=1$

và $\displaystyle {{x}_{2}}=-4$

Vậy nếu a = 1 thì b = -4

nếu a = -4 thì b = 1

Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P

1. S = 3 và P = 2

2. S = -3 và P = 6

3. S = 9 và P = 20

4. S = 2x và P = x² – y²

Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết

1. a + b = 9 và a² + b² = 41

2. a – b = 5 và ab = 36

3. a² + b² = 61 và ab = 30
Hướng dẫn:

1) Theo đề bài đó biết tổng của hai số a và b , vậy để áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần Tìm tích của a và b.

Từ $\displaystyle a+b=9\Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}=81\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}=81$

⇔ $\displaystyle ab=\frac{{81-\left( {{{a}^{2}}+{{b}^{2}}} \right)}}{2}=20$

Suy ra : a, b là nghiệm của Phương trình có dạng :

$\displaystyle {{x}^{2}}-9x+20=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=4\\{{x}_{2}}=5\end{array} \right.$

Vậy: Nếu a = 4 thì b = 5

nếu a = 5 thì b = 4

2) Biết tích: ab = 36 do đó cần Tìm tổng : a + b

Cách 1: Đặt c = -b ta có : a + c = 5 và a.c = -36

Suy ra a,c là nghiệm của Phương trình : $\displaystyle {{x}^{2}}-5x-36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-4\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.$

Do đó nếu a = -4 thì c = 9 nên b = -9

nếu a = 9 thì c = -4 nên b = 4

Cách 2: Từ $\displaystyle {{\left( {a-b} \right)}^{2}}={{\left( {a+b} \right)}^{2}}-4ab\Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{\left( {a-b} \right)}^{2}}+4ab=169$

$\displaystyle \Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{13}^{2}}\Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a+b=-13\\a+b=13\end{array} \right.$

*) Với $\displaystyle a+b=-13$ và ab = 36, nên a, b là nghiệm của Phương trình:

$\displaystyle {{x}^{2}}+13x+36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-4\\{{x}_{2}}=-9\end{array} \right.$

Vậy a = -4 thì b = -9

*) Với $\displaystyle a+b=13$ và ab = 36, nên a, b là nghiệm của Phương trình:

$\displaystyle {{x}^{2}}-13x+36=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=4\\{{x}_{2}}=9\end{array} \right.$

Vậy a = 9 thì b = 4

3) Đó biết ab = 30, do đó cần Tìm a + b:

Từ: a² + b² = 61

$\displaystyle \Rightarrow {{\left( {a+b} \right)}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab=61+2.30=121={{11}^{2}}$ $\displaystyle \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a+b=-11\\a+b=11\end{array} \right.$

*) Nếu $\displaystyle a+b=-11$ và ab = 30 thì a, b là hai nghiệm của Phương trình: $\displaystyle {{x}^{2}}+11x+30=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{{x}_{1}}=-5\\{{x}_{2}}=-6\end{array} \right.$