Phương pháp giải hệ phương trình bậc cao

Đây là bài thứ 9 of 14 trong chuyên đề Toán nâng cao lớp 9
Toán nâng cao lớp 9

Giải hệ phương trình bậc cao là dạng bài tập khó thường xuất hiện ở trong đề thi HSG Toán lớp 9, đề thi môn vào 10 chuyên Toán.

Muốn giải được các hệ phương trình bậc cao các em học sinh đọc những phương pháp dưới đây.

Phương pháp đưa về hằng đẳng thức

Đây là phương pháp mà chúng ta nên chú ý đầu tiên. Chúng ta cần để ý xem phương trình trong hệ có thể biến đổi về các hằng đẳng thức đã học hay không.

Chúng ta xét các ví dụ dưới đây để hiểu về phương pháp này.

Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình sau

a) \left\{ \begin{array}{l}\left( 3-x \right)\sqrt{2-x}-2y\sqrt{2y-1}=0\\\sqrt[3]{x+2}+2\sqrt{y+2}=5\end{array} \right.

b) \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}y+{{y}^{3}}=2{{x}^{4}}+{{x}^{6}}\\\left( x+2 \right)\sqrt{y+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\end{array} \right.

Giải

a) Điều kiện: x\le 2,y\ge \frac{1}{2}

. Phương trình (1) tương đương:

\left( 2-x \right)\sqrt{2-x}+\sqrt{2-x}=\left( 2y-1 \right)\sqrt{2y-1}+\sqrt{2y-1}

Đặt a=\sqrt{2-x},b=\sqrt{2y-1}. Ta có phương trình: \displaystyle {{a}^{3}}+a={{b}^{3}}+b ⇔ \displaystyle \left( a-b \right)\left( {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+1 \right)=0 . Do {{a}^{2}}+ab+{{b}^{2}}+1={{\left( a+\frac{b}{2} \right)}^{2}}+\frac{3{{b}^{2}}}{4}+1>0 suy ra phương trình cho ta \displaystyle a=b

\sqrt{2y-1}=\sqrt{2-x}\Leftrightarrow x=3-2y thay vào ta có: \sqrt[3]{5-2y}+2\sqrt{y+2}=5\Leftrightarrow Đặt a=\sqrt[3]{5-2y};b=\sqrt{y+2} ta có hệ phương trình sau:

\left\{ \begin{array}{l}a+2b=5\\{{a}^{3}}+2{{b}^{2}}=9\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a=1;b=2\\a=\frac{-3-\sqrt{65}}{4};b=\frac{23+\sqrt{65}}{8}\\a=\frac{\sqrt{65}-3}{4};b=\frac{23-\sqrt{65}}{8}\end{array} \right..

\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y=2\\y=\frac{233+23\sqrt{65}}{32}\\y=\frac{233-23\sqrt{65}}{32}\end{array} \right.

Vậy hệ có nghiệm

\left( x;y \right)=\left( -1;2 \right),\left( \frac{23\sqrt{65}-185}{16};\frac{233-23\sqrt{65}}{32} \right),\left( -\frac{23\sqrt{65}+185}{16};\frac{233+23\sqrt{65}}{32} \right)

b) Điều kiện: y\ge -1.

Ta viết lại phương trình (1) thành: {{y}^{3}}-{{x}^{6}}+2{{x}^{2}}\left( y-{{x}^{2}} \right)=0

\Leftrightarrow \left( y-{{x}^{2}} \right)\left( {{y}^{2}}+y{{x}^{2}}+{{x}^{4}}+2{{x}^{2}} \right)=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y={{x}^{2}}\\x=y=0\end{array} \right.

Dễ thấy x=y=0 không phải là nghiệm. Khi y={{x}^{2}} thay vào (2) ta được:

\left( x+2 \right)\sqrt{{{x}^{2}}+1}={{\left( x+1 \right)}^{2}}\Rightarrow {{\left( x+2 \right)}^{2}}\left( {{x}^{2}}+1 \right)={{\left( x+1 \right)}^{4}}\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=\sqrt{3},y=3\\x=-\sqrt{3},y=3\end{array} \right.

(thỏa mãn). Vậy hệ có nghiệm \left( x;y \right)=\left( \pm \sqrt{3};3 \right).

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau

a) \left\{ \begin{array}{l}{{x}^{5}}+x{{y}^{4}}={{y}^{10}}+{{y}^{6}}\\\sqrt{4x+5}+\sqrt{{{y}^{2}}+8}=6\end{array} \right.

b) \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{3}}-4{{x}^{2}}+3x-1=2{{x}^{3}}\left( 2-y \right)\sqrt{3-2y}\\\sqrt{x+2}=\sqrt[3]{14-x\sqrt{3-2y}}+1\end{array} \right.

Giải

a) Điều kiện: x\ge -\frac{5}{4}.

Ta thấy y=0 không là nghiệm của hệ. chia hai vế của (1) cho {{y}^{5}} ta được:

{{\left( \frac{x}{y} \right)}^{5}}+\frac{x}{y}={{y}^{5}}+y  . Đặt a=\frac{x}{y} ta có phương trình: {{a}^{5}}+a={{y}^{5}}+y suy ra \left( a-y \right)\left( {{a}^{4}}+{{a}^{3}}y+{{a}^{2}}{{y}^{2}}+a{{y}^{3}}+1 \right)=0\Leftrightarrow y=a\Leftrightarrow x={{y}^{2}}

\sqrt{4x+5}+\sqrt{x+8}=6\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=\pm 1. Từ đó tính được y=\pm 1

Vậy hệ đã cho có nghiệm \left( x;y \right)=\left( 1;\pm 1 \right).

b) Điều kiện: x\ge -2;y\le \frac{3}{2}.Ta thấy khi thì hệ không có nghiệm.

Chia phương trình (1) cho {{x}^{2}}\ne 0:

\left( 1 \right)\Leftrightarrow 2-\frac{4}{x}+\frac{3}{{{x}^{2}}}-\frac{1}{{{x}^{3}}}=\left( 4-2y \right)\sqrt{3-2y}

\Leftrightarrow {{\left( 1-\frac{1}{x} \right)}^{3}}+\left( 1-\frac{1}{x} \right)={{\left( \sqrt{3-2y} \right)}^{3}}+\sqrt{3-2y}

Đặt \displaystyle a=1-\frac{1}{x},b=\sqrt{3-2y} . Ta có {{a}^{3}}+a={{b}^{3}}+b ⇒ a=b ⇔ \sqrt{3-2y}=1-\frac{1}{x}.

Thay vào (2) ta được: x+2-\sqrt[3]{15-x}=1\Leftrightarrow x+1=\sqrt[3]{15-x}\Leftrightarrow {{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+4x-14=0.

⇔ x=7\Rightarrow y=\frac{111}{98}. Vậy hệ có nghiệm \left( x;y \right)=\left( 7;\frac{111}{98} \right).

Áp dụng công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2

Khi trong hệ phương trình có chứa phương trình bậc 2 theo ẩn x, hoặc y ta biến đổi x theo y hoặc y theo x dựa vào công thức nghiệm Δ của phương trình bậc 2. Cụ thể như sau:

*  Nếu Δ chẵn, ta giải x theo y rồi thế vào phương trình còn lại của hệ để giải tiếp

*  Nếu Δ không chẵn ta thường xử lý theo cách:

+ Cộng hoặc trừ các phương trình của hệ để tạo được phương trình bậc hai có  chẵn hoặc tạo thành các hằng đẳng thức

+ Dùng điều kiện Δ ≥ 0 để tìm miền giá trị của biến x, y. Sau đó đánh giá phương trình còn lại trên miền giá trị x, y vừa tìm được:

Minh họa cách làm này qua những ví dụ dưới đây.

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau

a) \left\{ \begin{array}{l}xy+x+y={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}\\x\sqrt{2y}-y\sqrt{x-1}=2x-2y\end{array} \right.

b)  \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3xy+3x-2y+1=0\\4{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+x+4=\sqrt{2x+y}+\sqrt{x+4y}\end{array} \right.

Giải

Xét phương trình (1) của hệ ta có:

xy+x+y={{x}^{2}}-2{{y}^{2}}\Leftrightarrow {{x}^{2}}-x(y+1)-2{{y}^{2}}-y=0. Ta coi đây là phương trình bậc 2 của x thì ta có: \Delta ={{(y+1)}^{2}}+8{{y}^{2}}+4y={{(3y+1)}^{2}}. Từ đó suy ra

\left[ \begin{array}{l}x=\frac{y+1-(3y+1)}{2}=-y\\x=\frac{y+1+(3y+1)}{2}=2y+1\end{array} \right.

Trường hợp 1: x=-y. Từ phương trình  của hệ ta có điều kiện: \left\{ \begin{array}{l}x\ge 1\\y\ge 0\end{array} \right. suy ra phương trình vô nghiệm

Trường hợp 2: x=2y+1 thay vào phương trình thứ hai ta có:

\begin{array}{l}(2y+1)\sqrt{2y}-y\sqrt{2y}=2y+2\Leftrightarrow y\sqrt{2y}+\sqrt{2y}=2(y+1)\\\Leftrightarrow (y+1)\left( \sqrt{2y}-2 \right)=0\Leftrightarrow y=2\Rightarrow x=5\end{array}

Vậy hệ có một cặp nghiệm: (x;y)=(5;2)

b) Xét phương trình (1) của hệ ta có:

2{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-3xy+3x-2y+1=0\Leftrightarrow 2{{x}^{2}}+x(3-3y)+{{y}^{2}}-2y+1=0

Coi đây là phương trình bậc 2 của x ta có:

\Delta ={{(3-3y)}^{2}}-8\left( {{y}^{2}}-2y+1 \right)={{y}^{2}}-2y+1={{(y-1)}^{2}}

Suy ra \left[ \begin{array}{l}x=\frac{3y-3-(y-1)}{4}=\frac{y-1}{2}\\x=\frac{3y-3+(y-1)}{4}=y-1\end{array} \right.

Trường hợp 1:  y=x+1 thay vào phương trình (2) ta thu được:

\begin{array}{l}3{{x}^{2}}-x+3=\sqrt{3x+1}+\sqrt{5x+4}\\\Leftrightarrow 3{{x}^{2}}-3x+(x+1-\sqrt{3x+1})+(x+2-\sqrt{5x+4})=0\end{array}

⇔ \left( {{x}^{2}}-x \right)\left[ 3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}} \right]=0

Do x\ge -\frac{1}{3} nên 3+\frac{1}{x+1+\sqrt{3x+1}}+\frac{1}{x+2+\sqrt{5x+4}}>0

⇒ {{x}^{2}}-x=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x=0\\x=1\end{array} \right.

Trường hợp 2: y=2x+1 thay vào phương trình (2) ta thu được:

3-3x=\sqrt{4x+1}+\sqrt{5x+4}\Leftrightarrow \sqrt{4x+1}+\sqrt{5x+4}+3x-3=0

Giải tương tự như trên ta được x=0.

Kết luận: Hệ phương trình có 2 cặp nghiệm: (x;y)=(0;1),(1;2)

Phương pháp đánh giá

Để giải được hệ phương trình bằng phương pháp đánh giá ta cần nắm chắc các bất đẳng thức cơ bản như: Cauchy, Bunhicopxki, các phép biến đổi trung gian giữa các bất đẳng thức, qua đó để đánh giá tìm ra quan hệ x,y.

Ngoài ra ta cũng có thể dùng hàm số để  tìm GTLN, GTNN  từ đó có hướng đánh giá, so sánh phù hợp.

Ví dụ 4: Giải các hệ phương trình sau

a) \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{\sqrt{1+2{{x}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+2{{y}^{2}}}}=\frac{2}{\sqrt{1+2xy}}\\\sqrt{x\left( 1-2x \right)}+\sqrt{y\left( 1-2y \right)}=\frac{2}{9}\end{array} \right.

b) \left\{ \begin{array}{l}x\left( {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right)+{{x}^{2}}=2\sqrt{{{\left( x-{{y}^{2}} \right)}^{3}}}\\76{{x}^{2}}-20{{y}^{2}}+2=\sqrt[3]{4x\left( 8x+1 \right)}\end{array} \right.

Giải

a) Điều kiện: 0\le x,y\le \frac{1}{2}.

Đặt a=\sqrt{2}x,b=\sqrt{2}y;a,b\in \left[ 0;\frac{1}{\sqrt{2}} \right].

Ta có: VT=\frac{1}{\sqrt{1+{{a}^{2}}}}+\frac{1}{\sqrt{1+{{b}^{2}}}}\le \sqrt{2\left( \frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}} \right)}.

Ta sử dụng bổ đề với a,b>0 và ab\le 1 ta có bất đẳng thức:

\frac{1}{1+{{a}^{2}}}+\frac{1}{1+{{b}^{2}}}\le \frac{2}{1+ab}\Leftrightarrow \frac{{{\left( a-b \right)}^{2}}\left( ab-1 \right)}{\left( 1+ab \right)\left( 1+{{a}^{2}} \right)\left( 1+{{b}^{2}} \right)}\le 0 (đúng).

Vậy VT\le \frac{2}{\sqrt{1+ab}}=VP.

Đẳng thức xảy ra khi x=y. Thay vào(2) ta tìm được nghiệm của phương trình.

Nghiệm của hệ \left( x;y \right)=\left( \frac{9-\sqrt{73}}{36};\frac{9-\sqrt{73}}{36} \right),\left( \frac{9+\sqrt{73}}{36};\frac{9+\sqrt{73}}{36} \right).

b) Điều kiện: x\ge {{y}^{2}}\ge 0.

Phương trình (1) tương đương: {{x}^{3}}+x\left( x-{{y}^{2}} \right)-2\sqrt{{{\left( x-{{y}^{2}} \right)}^{3}}}=0.

Đặt \sqrt{x-{{y}^{2}}}=u phương trình (1) thành:

\displaystyle {{x}^{3}}+x{{u}^{2}}-2{{u}^{3}}=0\Leftrightarrow x=u\Leftrightarrow {{y}^{2}}=x-{{x}^{2}}

Thay vào (2) ta được: 96{{x}^{2}}-20x+2=\sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}.

Ta có 96{{x}^{2}}-20x+2=\sqrt[3]{32{{x}^{2}}+4x}=\sqrt[3]{1.1.\left( 32{{x}^{2}}+4x \right)}\le \frac{32{{x}^{2}}+4x+2}{3}

\Leftrightarrow 3\left( 96{{x}^{2}}-20x+2 \right)\le 32{{x}^{2}}+4x+2\Leftrightarrow {{\left( 16x-2 \right)}^{2}}\le 0\Leftrightarrow x=\frac{1}{8}\Rightarrow y=\pm \frac{\sqrt{7}}{8}

Từ đó ta có các nghiệm của hệ là: Vậy hệ có nghiệm \left( x;y \right)=\left( \frac{1}{8};\pm \frac{\sqrt{7}}{8} \right).

Bài tập giải hệ PT bậc cao

Bài 1: Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}2{{x}^{2}}-{{y}^{2}}+xy-5x+y+2=\sqrt{y-2x+1}-\sqrt{3-3x}\\{{x}^{2}}-y-1=\sqrt{4x+y+5}-\sqrt{x+2y-2}\end{array} \right.

Bài 2: Giải hệ phương trình \left\{ \begin{array}{l}\left| xy-2 \right|=4-{{y}^{2}}(1)\\{{x}^{2}}-xy+1=0(2)\end{array} \right.

Bài 3: Giải hệ phương trình \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}8x-y=6\\{{x}^{2}}-y=-6\end{array} \right.

Bài 4: Giải hệ phương trình: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{3}{2x}-y=6\\\frac{1}{x}+2y=-4\end{array} \right.

Bài 5: Tìm \displaystyle x;y thỏa mãn : \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+\sqrt{2015+{{x}^{2}}})(y+\sqrt{2015+{{y}^{2}}})=2015\\3{{x}^{2}}+8{{y}^{2}}-12xy=23\end{array} \right.

Cùng chuyên đề:

<< Sách Tài liệu chuyên toán Hình Học 9Chuyên đề: Tam giác đồng dạng – Toán nâng cao lớp 9 >>

Đại số 9 - Tags: , ,