Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Đây là bài thứ 5 of 25 trong chuyên đề Ôn thi vào lớp 10 môn Toán
Ôn thi vào lớp 10 môn Toán

Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn nằm trong chuyên đề ôn thi vào 10 môn Toán.

Hệ Phương trình bậc nhất có hai ẩn số

+ Dạng tổng quát: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}ax+b=0\\{{a}^{'}}x+{{b}^{'}}=0\end{array} \right.

+ Cách giải:

+ Số nghiệm số:

+ Tập nghiệm của mỗi Phương trình biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ là đồ thị hàm số dạng: \displaystyle y=ax+b

Ví dụ: Giải các HPT sau:

Bài 1: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-y=3\\3x+y=7\end{array} \right.

Giải:

+ Dùng PP thế:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-y=3\\3x+y=7\end{array} \right.   \displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=2x-3\\3x+2x-3=7\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=2x-3\\5x=10\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=2.2-3\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array} \right.

HPT đã cho có nghiệm là: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array} \right.

+  Dùng PP cộng:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-y=3\\3x+y=7\end{array} \right.\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}5x=10\\3x+y=7\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\3.2+y=7\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array} \right.

HPT đã cho có nghiệm là: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=1\end{array} \right.

Bài 2: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=-2\\5x+2y=6\end{array} \right.   Để giải loại HPT này ta thường sử dụng PP cộng cho thuận lợi.

Giải:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+3y=-2\\5x+2y=6\end{array} \right.\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}10x+15y=-10\\10x+4y=12\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}11y=-22\\5x+2y=6\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}y=-2\\5x+2.(-2=6)\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-2\end{array} \right.

HPT có nghiệm là \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=2\\y=-2\end{array} \right.

Bài 3: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{2}{{x+1}}+\frac{3}{y}=-1\\\frac{2}{{x+1}}+\frac{5}{y}=-1\end{array} \right.

Giải:

* Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giải sau đây:

+ Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK: \displaystyle x\ne -1,y\ne 0.

\displaystyle \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{2}{{x+1}}+\frac{3}{y}=-1} \\ {\frac{2}{{x+1}}+\frac{5}{y}=-1} \end{array}} \right.

\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{2}{y}=2} \\ {\frac{2}{{x+1}}+\frac{5}{y}=1} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y=1} \\ {\frac{2}{{x+1}}+\frac{5}{1}=1} \end{array}} \right.

\displaystyle \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {y=1} \\ {\frac{2}{{x+1}}=-4} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x+1=-\frac{1}{2}} \\ {y=1} \end{array}} \right.\Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {x=-\frac{3}{2}} \\ {y=1} \end{array}} \right.

HPT có nghiệm là \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\y=1\end{array} \right.

+ Cách 2: Sử dụng PP đặt ẩn phụ. ĐK: \displaystyle x\ne -1,y\ne 0.

Đặt \displaystyle \frac{1}{{x+1}}=a ;  \displaystyle \frac{1}{y}=b.  HPT đã cho trở thành:

\displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2a+3b=-1\\2a+5b=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a+5b=1\\2b=2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2a+5.1=1\\b=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a=-2\\b=1\end{array} \right.\displaystyle \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x+1}}=-2\\\frac{1}{y}=1\end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\y=1\end{array} \right.  (TMĐK)

HPT có nghiệm là \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x=-\frac{3}{2}\\y=1\end{array} \right.

Lưu ý:

– Nhiều em còn thiếu ĐK cho những HPT ở dạng này.

– Có thể thử lại nghiệm của HPT vừa giải.

Bài tập về hệ Phương trình

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)

a) \displaystyle\left\{ \begin{array}{l}x-y=3\\3x-4y=2\end{array} \right.

b) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}7x-3y=5\\4x+y=2\end{array} \right.

c) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x-2\sqrt{2}y=\sqrt{5}\\x\sqrt{2}+y=\sqrt{2}\end{array} \right.

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)

a) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x+y=3\\2x-y=7\end{array} \right.

b) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}4x+3y=6\\2x+y=4\end{array} \right.

c) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x-2y=10\\x-\frac{2}{3}y=3\frac{1}{3}\end{array} \right.

d) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x\sqrt{2}-3y=1\\2x+y\sqrt{2}=-2\end{array} \right.

e) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}5x\sqrt{3}+y=2\sqrt{2}\\x\sqrt{6}-y\sqrt{2}=2\end{array} \right.

Bài 3: Giải hệ phương trình \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}x+3y=1\\({{m}^{2}}+1)x+6y=2m\end{array} \right. trong mỗi trường hợp sau

a) m = -1                     b) m = 0                    c) m = 1

Bài 4: 

a) Xác định hệ số a và b, biết rằng hệ phương trình \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+by=4\\bx-ay=-5\end{array} \right.có nghiệm là (1; -2)

b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm là \displaystyle \left( {\sqrt{2}-1;\sqrt{2}} \right)

Bài 5: Giải hệ phương trình sau: \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x+y=\sqrt{2}\\x+3y=-1\end{array} \right.

Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{{2m}}{{m+1}}+\frac{n}{{n+1}}=\sqrt{2}\\\frac{m}{{m+1}}+\frac{{3n}}{{n+1}}=-1\end{array} \right.

Bài 6: Cho hệ Phương trình \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}2x-ay=b\\ax+by=1\end{array} \right.

a) Giải hệ khi a =3 ; b =-2

b) Tìm a;b để hệ có nghiệm là (x;y) = (\displaystyle \sqrt{2};\sqrt{3})

Bài 7: Giải các hệ Phương trình sau: (pp đặt ẩn phụ)

a) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x+y}}-\frac{2}{{x-y}}=2\\\frac{5}{{x+y}}-\frac{4}{{x-y}}=3\end{array} \right.

b) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3\sqrt{x}-4\sqrt{y}=-8\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=2\end{array} \right.

c) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3\sqrt{{x-2}}-4\sqrt{{y-2}}=3\\2\sqrt{{x-2}}+\sqrt{{y-2}}=1\end{array} \right. (đk x;y\displaystyle \ge2 )

d) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3x-\sqrt{3}y=3-2\sqrt{3}\\\sqrt{2}x+3y=6+\sqrt{2}\end{array} \right.  ;

e) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+1)+2(y-2)=5\\3(x+1)-(y-2)=1\end{array} \right.  ;

f) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x+5)(y-2)=(x+2)(y-1)\\(x-4)(y+7)=(x-3)(y+4)\end{array} \right..

g) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}(x-1)(y-2)+(x+1)(y-3)=4\\(x-3)(y+1)-(x-3)(y-5)=1\end{array} \right.  ;

h) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}3(x+y)+5(x-y)=12\\-5(x+y)+2(x-y)=11\end{array} \right.  ;

i) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{4}{5}\\\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{1}{5}\end{array} \right.;

k)  \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{x+y}}-\frac{2}{{x-y}}=2\\\frac{5}{{x+y}}-\frac{4}{{x-y}}=3\end{array} \right.    ;

l) \displaystyle \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{{2x-3y}}+\frac{5}{{3x+y}}=\frac{5}{8}\\\frac{3}{{2x-3y}}-\frac{5}{{3x+y}}=-\frac{3}{8}\end{array} \right.  ;

Cùng chuyên đề:

<< Giải và biện luận phương trình bậc nhất một ẩnPhương trình bậc hai – Hệ thức Vi-ét >>

Đại số 9 - Tags: , , , , ,