Bất đẳng thức Schur với t=1. Các kết quả hay sử dụng

Đây là bài thứ 8 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức

Chia sẻ một số bất đẳng thức Schur dùng trong chứng minh các bài toán bất đẳng thức hay và khó trong chương trình Toán trung học cơ sở.

Các bất đẳng thức suy ra từ bất đẳng thức Schur khi t=1 là:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+3 a b c \geq a b(a+b)+b c(b+c)+c a(c+a)$

$a^{3}+b^{3}+c^{3}+6 a b c \geq(a b+b c+c a)(a+b+c)$

$(a+b+c)^{3}+9 a b c \geq 4(a+b+c)(a b+b c+c a)$

$(a+b+c)^{3}+9 a b c \geq 4[(a+b)(b+c)(c+a)+a b c]$

$(a+b+c)^{3}+5 a b c \geq 4(a+b)(b+c)(c+a)$

$a b c \geq(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

$\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{9 a b c}{a+b+c} \geq 2(a b+b c+c a)$

$\displaystyle \Rightarrow(a+b+c)^{2}+\frac{9 a b c}{a+b+c} \geq 4(a b+b c+c a)$

$\displaystyle \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}+\frac{4 a b c}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 2$

$\displaystyle \Rightarrow(a+b+c)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)+\frac{4 a b c}{(a+b)(b+c)(c+a)} \geq 5$

Đặt $x=b+c, y=c+a, z=a+b$

$\displaystyle \Rightarrow a=\frac{y+z-x}{2}, b=\frac{z+x-y}{2}, c=\frac{x+y-z}{2}$

$\displaystyle (x+y+z)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)+\frac{(x+y-z)(z+x-y)(y+z-z)}{x y z} \geq 10$

(thầy Phạm Văn Tuyên tổng hợp)

Cùng chuyên đề: