Chọn điểm rơi trong bất đẳng thức như nào?

Đây là bài thứ 6 of 16 trong chuyên đề Bất đẳng thức
Bất đẳng thức

Chúng ta thường chọn điểm rơi khi áp dụng BĐT Cosi để chứng minh bất đẳng thức khi đề bài cho các số dương.

Điểm rơi ở đây chính là giá trị của biến làm dấu bằng xảy ra.

Dự đoán dấu “=”?

Các dấu hiệu nhận biết thường thấy:

– Nếu biểu thức có điều kiện ràng buộc thì GTLN, GTNN của biểu thức thường đạt được tại vị trí biên

– Nếu biểu thức có tính đối xứng thì dấu “=” thường xảy ra khi các biến bằng nhau.

– Nếu biểu thức không có tính đối xứng thì tuỳ theo bài toán mà linh hoạt áp dụng.

Mục đích: Xác định giá trị các biến và GTLN, GTNN của biểu thức tại dấu “=” ở dự đoán ban đầu.

Cách chọn điểm rơi trong chứng minh bất đẳng thức

Xem qua các ví dụ dưới đây.

Ví dụ 1: Cho a, b, c

là các số thực thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng \sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a} \leq \sqrt{6}

Giải:

Nhận thấy: biểu thức có tính đối xứng.

Vì a + b + c = 1

⇒ dấu “=” xảy ra khi \displaystyle a=b=c=\frac{1}{3}

Áp dụng BĐT Cosi cho 2 số (a + b) và k (k>0)

Khi áp dụng BĐT Cosi thì dấu “=” xảy ra ⇔ \displaystyle k=a+b=~\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}

Ta có:

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}(a+b)} \leq \frac{\frac{2}{3}+a+b}{2}    (1)

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}(a+c)} \leq \frac{\frac{2}{3}+a+c}{2}    (2)

\displaystyle \sqrt{\frac{2}{3}(b+c)} \leq \frac{\frac{2}{3}+b+c}{2}    (3)

Cộng (1), (2) và (3) lại ta có:

\displaystyle \sqrt{{\frac{2}{3}(a+b)}}+\sqrt{{\frac{2}{3}(a+c)}}+\sqrt{{\frac{2}{3}(b+c)}}\le \frac{{\frac{2}{3}+a+b}}{2}+\frac{{\frac{2}{3}+a+c}}{2}+\frac{{\frac{2}{3}+b+c}}{2}

⇔ \displaystyle \sqrt{{\frac{2}{3}}}\left( {\sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}} \right)\le \frac{{2+2(a+b+c)}}{2}=2

⇔ \displaystyle \sqrt{{(a+b)}}+\sqrt{{(a+c)}}+\sqrt{{(b+c)}}\le \sqrt{6}

=> Đpcm

Ví dụ 2: Cho x, y, z > 0 thỏa \displaystyle x+y+z\le \frac{3}{2}. Tìm GTNN của A=x^{2}+y^{2}+z^{2}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}.

Giải:

Do A là biểu thức đối xứng theo x, y, z nên dự đoán A đạt GTNN tại \displaystyle x=y=z=\frac{1}{2}.

Để dùng được bất đẳng thức Cosi cần tách:

\displaystyle x^{2}+\frac{1}{x}=x^{2}+\frac{m}{x}+\frac{n}{x}

Khi áp dụng BĐT Cosi cho 3 số thì dấu “=” xảy ra ⇔ \displaystyle x^{2}=\frac{\mathrm{m}}{x}=\frac{\mathrm{n}}{x}

\displaystyle x=\frac{1}{2}\Rightarrow m=n=\frac{1}{8}

Khi đó:

\displaystyle \begin{array}{l}A=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{x}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{y}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\frac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,=\left( {{{x}^{2}}+\frac{1}{{8x}}+\frac{1}{{8x}}} \right)+\left( {{{y}^{2}}+\frac{1}{{8y}}+\frac{1}{{8y}}} \right)+\left( {{{z}^{2}}+\frac{1}{{8z}}+\frac{1}{{8z}}} \right)+\frac{6}{8}\left( {\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}} \right)\\\,\,\,\,\,\ge 3\sqrt[3]{{{{x}^{2}}\frac{1}{{8x}}\frac{1}{{8x}}}}+3\sqrt[3]{{{{y}^{2}}\frac{1}{{8y}}\frac{1}{{8y}}}}+3\sqrt[3]{{{{z}^{2}}\frac{1}{{8z}}\frac{1}{{8z}}}}+\frac{3}{4}\frac{9}{{(x+y+z)}}\ge \frac{9}{4}+\frac{{27}}{4}\frac{2}{3}=\frac{{27}}{4}\end{array}

Dấu “=” xảy ra ⇔ \displaystyle x=y=z=\frac{1}{2}

Cùng chuyên đề:

<< Một số bất đẳng thức phụ hay dùngChứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp đổi biến >>

Kiến thức THCS - Tags: , ,